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記事No.69159に関するスレッドです
★ 演習問題3⃣につきまして / ブラッドマミ
お世話になっております。今回は演習問題3⃣につきまして質問があります。記号の意味が分かりません。誰か分かる方、教えてください。R_θ(P)とR_θ(Q)とR(θ)の記号の意味するところが分かりません。申し訳ないですが教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.69159 - 2020/08/22(Sat) 13:16:13
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / IT
一般的でなくかつ演習問題の中で定義されていない記号の意味は、推測はできても、出題者と演習に先立つ講義を受けている人にしか正確には分らないのでは？
No.69162 - 2020/08/22(Sat) 19:31:32
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ast
R(θ) は問題文に書かれているのが定義式と思われるし, のこりの二つは, 前回 (No.68962) 質問者さんご自身で
> Ｒ_θは原点oに対して反時計回りに回転移動する変換です。
とはっきりお書きになられているのに,
> 意味するところが分かりません
というのは些か奇妙に聞こえます…….
No.69163 - 2020/08/22(Sat) 20:18:53
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ブラッドマミ
例えば点P=(a,b),点Q=(c,d)とおけば、ベクトルPQ=(c-a,d-b)
となり、左辺=ベクトルPQ・R_θ=((c-a)*(x*cosθ-ysinθ,(d-b)*(x*sinθ+y*cosθ))となることまで導けました。

ですが、右辺=ベクトル(R_θ(P)*R_θ(Q))についてはどう考えていったらいいかわかりません。

分かる方教えてください。よろしくお願いします。
No.69175 - 2020/08/23(Sun) 17:05:45
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ast
> 左辺=ベクトルPQ・R_θ=((c-a)*(x*cosθ-ysinθ,(d-b)*(x*sinθ+y*cosθ))となることまで導けました。
ちょっと何言ってるか分からないんですが, ベクトルPQ・R_θ は全く意味を為さない式だと思います, これはどこから来た式なのでしょうか (これは問題文の等式の左辺でも右辺でもない式ですよね?), あと x,y も何を表しているのかわかりません. どういう計算を行ったと主張されていますか?

> 右辺=ベクトル(R_θ(P)*R_θ(Q))についてはどう考えていったらいいかわかりません。
これは (右辺じゃなく左辺の話でしょうけれども),
> 点P=(a,b),点Q=(c,d)とおけば、ベクトルPQ=(c-a,d-b)
とまったく同じようにすればいい話ですね, 点が P, Q から R_θ(P), R_θ(Q) に変わっただけです. 点 R_θ(P) や点 R_θ(Q) がどのような点かはわかりますよね? (「点P=(a,b),点Q=(c,d)とお」いたのなら, それらの像 R_θ(P) および R_θ(Q) は θ (もちろんこの場合は cos(θ),sin(θ) の形で) とそれぞれ a,b および c,d で書ける).

# この画像の問題では R^2 の点は (行列の積を考えるときには) 横ベクトルとして扱われているようで,
# それを反映して R(θ) も右から掛かってはいますが, 本質的に本問「2×2 行列 R(θ) を求めよ」とは,
#「回転変換 R_θ を行列表示せよ」と読み取るべき内容です.
# 当然ながら, 求めようとする R(θ) の4つの成分を文字 (それらは実際には θ の函数になります) で置いて,
# 等式の両辺の計算結果を比較しなければ R(θ) は求まりません.
No.69178 - 2020/08/23(Sun) 19:57:43
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ブラッドマミ
ご返信ありがとうございます。すごく参考になります。
ここまでで私が分かったことは、左辺のR_θ(P)=R_θ(a,b)=(a*cosθ-b*sinθ,a*sinθ+b*cosθ)
左辺のR_θ(Q)=R_θ(c,d)=(c*conθ-d*sinθ,c*sinθ+d*cosθ)
のところまで理解しました。ただ左辺のベクトルR_θ(P)R_θ(Q)はどちらも1行2列で行列の演算が成立しません。ここからはどう進めて行っていいか分かりません。またベクトルPQ=(c-a,d-b)と置いても大丈夫でしょうか？
最後にR_(θ)は2×2行列でR_(θ)=(α　β
　　　　　　　　　　　　　　　　γ　δ)
と置いてからR_(θ)を導きだすと言う事でしょうか？
ここまでが自分の理解の限界です。もし足りなかったり、おかしいと思う場所がありましたらご指摘お願いします。
よろしくお願いします。
No.69181 - 2020/08/24(Mon) 20:22:07
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ast
> どちらも1行2列で行列の演算が成立しません
というのは正しい主張ですが, 本問に全く関係ない話ですので, その意味ではおかしいです.

> ベクトルPQ=(c-a,d-b)と置いても大丈夫でしょうか？
少なくとも「〜と置く」のはダメですね. 非自明な内容ですしちゃんと導出する (か公理として与えられている) のでないといけない内容のはずです (No.69175では「ベクトルPQ=(c-a,d-b)となり」と書いてらっしゃるのでお使いのテキストでは何らかの記述があって導出済みの既知の事項なのだろうと思っていました). どのように導出すればいいのかは, そもそもこの問題の前提となる公理をどう与えているかで全然違ってくると思いますので, これ以上の補足は (質問者がそれらについて提示できるということでない限りは) できません.

画像の問題から察するに, お使いのテキストはアフィン幾何の話をやろうとしているのだとは思いますが, アフィン空間の例として R^2 はあまりに具体的過ぎて (アフィン空間としての性質以外の) 余計な性質を持ちすぎているため, お使いのテキストが何を既知の性質として用いてよいと考えているのかわからないときちんとした記述が困難です.
# 例えば, 提示された画像だけからは, “点とベクトルの和” として P+PQ=Q が成り立つのは自明,
# しかしこれを点の座標およびベクトルの成分についての等式 (a,b)+(x,y)=(c,d) と見て
# x=c-a, y=d-b と結論付けてよいかは非自明な (というかテキストの文脈による) 事実となります.
# (そして, 上で述べたように, 公理が不明だとこれで PQ=(c-a,d-b) を導出したと言っていいかすら不明)
## ITさんが No.69162 で
## > 推測はできても、出題者と演習に先立つ講義を受けている人にしか正確には分らない
## と仰ったことをぜひ軽んじないでいただきたい.
No.69192 - 2020/08/25(Tue) 15:26:54