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記事No.69212に関するスレッドです
★ 大学1年生です / Rio
全く方針が立ちません。何卒よろしくお願いします。
No.69212 - 2020/08/25(Tue) 22:53:20
☆ Re: 大学1年生です / IT
f(x) が満たす条件が書いてあるのでは？
f(x) がｎ回連続微分可能である。ということなら、
lim[h→0]∫[a,a+h]|f(n)(x)|dx＝0 は、比較的容易に示せるのでは？
No.69221 - 2020/08/26(Wed) 18:46:15
☆ Re: 大学1年生です / Rio
ありがとうございます　f^(n)は　fのn次導関数で連続という条件です。
微積分の基本定理が突破口というようなヒントがありましたがまだ手が出ません。
No.69258 - 2020/08/29(Sat) 00:36:10
☆ Re: 大学1年生です / IT
f^(n)は連続　であれば、εδ方式を使ってf^(n)は[a,a+h] で有界であることが云えるので、これを使えば良いのでは？

>「微積分の基本定理が突破口」・・・
微積分の基本定理とその証明は、お使いのテキストには、どのように書いてありますか？
No.69266 - 2020/08/29(Sat) 10:42:23
☆ Re: 大学1年生です / rio
テイラー展開の有限の場合を考えています。
積分形の剰余項が→0を示すのに、|積分形の剰余項|＜質問の積分　 という式にもちこんで、右辺の積分は0に収束するのでOKという説明だけがされたのです。
なぜ0に収束するのかについて、簡単に「微積分の基本定理」をつかうのもいいですねとだけでした。
色々と調べているのですが、収束を示せないというのが現状です。
イプシロンデルタの方法を詳しく教えていただけないでしょうか。
No.69279 - 2020/08/29(Sat) 21:35:01
☆ Re: 大学1年生です / IT
εδ方式まで戻らず、
f^(n)は連続なので[a-1,a+1] で最小値ｍ最大値Ｍを持つ。
すなわち[a-1,a+1] でｍ≦f^(n)(x)≦Ｍ
K=max{|ｍ|,|Ｍ|}とおくと
|f^(n)(x)|≦Ｋ

このとき　|h|≦1　について　
　|∫[a,a+h]|f^(n)(x)|dx|　≦Ｋ｜h｜　→0（h→0）
で良いのでは？

途中、
f^(n)は連続なので[a-1,a+1] で有界、すなわち |f^(n)(x)|≦Ｋ となる実数Ｋが存在する。
とあっさり書いても良いと思います。

＞簡単に「微積分の基本定理」をつかうのもいいですね
「微積分の基本定理」の証明にこの事実を使うこともあったような記憶があるので、それで良いか（循環論法にならないか）は少し心配です。
No.69283 - 2020/08/30(Sun) 05:18:17
☆ Re: 大学1年生です / rio
ありがとうございました！
No.69321 - 2020/09/02(Wed) 16:46:54