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記事No.69224に関するスレッドです
★ 全単射 / スイカ
実数全体の集合R→[0,1)の全単射の例を教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.69215 - 2020/08/26(Wed) 06:14:51
☆ Re: 全単射 / らすかる
例えばnを自然数として
f(x)={x/(|x|+1)+1}/2
g(x)=
(n-1)/n　(x=n/(n+1))
x　(x≠n/(n+1))
とすればg(f(x))が条件を満たしますね。

# f(x)はf(x)=arctan(x)/π+1/2などでもよい
No.69216 - 2020/08/26(Wed) 11:45:09
☆ Re: 全単射 / IT
g(x)として[0,∞)→[0,1)の全単射となるものを作ります。　例えばg(x)=x/(x+1)

f(x)としてR→[0,∞)の全単射となるものを作ります。
例えば、
[0,1)→[0,1),[1,2)→[2,3),[2,3)→[4,5),...
[-1,0)→[1,2),[-2,-1)→[3,4),[-3,-2)→[5,6),...
となるようにします。

すると g(f(x)) は、条件を満たします。
No.69223 - 2020/08/26(Wed) 21:52:13
☆ Re: 全単射 / らすかる
ITさんのアイデアを使わせて頂くと
[0,1)→[0,1/2)
[-1,0)→[1/2,2/3)
[1,2)→[2/3,3/4)
[-2,-1)→[3/4,4/5)
[2,3)→[4/5,5/6)
[-3,-2)→[5/6,6/7)
・・・
（[n,n+1)→[a,b)の全単射は(b-a)(x-n)+a）
のようにもできますね。

# 上の全単射は
# 1+(2x-2[x]-|4[x]+1|-3)/(8[x]^2+4[x]+2|4[x]+1|+2)
# というわけのわからない一つの式にまとめることができます。
# この式のグラフは↓こちら
No.69224 - 2020/08/27(Thu) 01:45:59
☆ Re: 全単射 / IT
> # 上の全単射は
> # 1+(2x-2[x]-|4[x]+1|-3)/(8[x]^2+4[x]+2|4[x]+1|+2)
> # というわけのわからない一つの式にまとめることができます。

たしかに、なかなかどういう意味か分り難い式ですね。
どうやって導出されたのでしょうか？
xの正負で分ければ
x≧0のとき　
　(x-[x])/((2[x]+1)(2[x]+2))+2[x]/(2[x]+1)
x＜0のとき
　(x-[x])/((2[|x|]+2)(2[|x|]+3))+(2[|x|]+1)/(2[|x|]+2)

と書けて、少し意味（各折れ線の傾きや端点の座標）が分りやすいかもしれませんね。

らすかるさんの最初の関数は、f(x) のままだと,{0} が空いてしまうので　うまく塞いでおられますね。

・可算個の部屋を持つホテルは決して満室にならない。　と同じ原理ですね
No.69263 - 2020/08/29(Sat) 09:38:22
☆ Re: 全単射 / らすかる
定義域の区間の左端から値域の区間の左端の分子に変換する関数、つまり
-1→1, 1→2, -2→3, 2→4, -3→5 と変換する関数は
x≧0のとき2x、x＜0のとき-2x-1なので、これを一つの式にまとめると
(|4x+1|-1)/2
定義域内のある値から定義域の区間の左端に変換する関数は[x]なので、
定義域内のある値から値域の区間の左端の分子に変換する関数は
(|4[x]+1|-1)/2
値域の区間の左端の分母は分子+1なので
(|4[x]+1|+1)/2
右端の分子も同じ
右端の分母はさらに1を足した数なので
(|4[x]+1|+3)/2
よって定義域内のある値xに対して値域の区間は
左端が {(|4[x]+1|-1)/2}/{(|4[x]+1|+1)/2} = (|4[x]+1|-1)/(|4[x]+1|+1)
右端が {(|4[x]+1|+1)/2}/{(|4[x]+1|+3)/2} = (|4[x]+1|+1)/(|4[x]+1|+3)
となり、上の回答内に書いた
「[n,n+1)→[a,b)の全単射は(b-a)(x-n)+a」
の式で
a=(|4[x]+1|-1)/(|4[x]+1|+1)
b=(|4[x]+1|+1)/(|4[x]+1|+3)
n=[x]
x=x
をあてはめて整理したのが（整理したから意味不明になったわけですが）
上の式です。

ちなみに全単射なので当然逆関数も存在し、これも求めました。逆関数は
{(x-1)[1/(1-x)]+1}{[1/(1-x)]+1}-{(-1)^[1/(1-x)]}{2[1/(1-x)]+(-1)^[1/(1-x)]-1}/4
と書けます。
No.69267 - 2020/08/29(Sat) 11:37:14
☆ Re: 全単射 / IT
> -1→1, 1→2, -2→3, 2→4, -3→5 と変換する関数は
> x≧0のとき2x、x＜0のとき-2x-1なので、これを一つの式にまとめると
> (|4x+1|-1)/2

なるほど！絶対値をうまく使って正負の場合分けをやっておられますね。

逆関数もおもしろいですね。
No.69268 - 2020/08/29(Sat) 11:48:04
☆ Re: 全単射 / IT
手持ちのテキストに
少し違いますが　(0,1]→Rの全単射 の例がありましたので参考までに載せておきます。
（容易に[0,1)→R に変えられますが、そのまま書きます）

(0,1)→Rの全単射は、いくらでもある.
　例えば　g(x)=1/(1-x)-1/x 。

(0,1]→(0,1)の全単射は、いくらでもある.
例えば　f(x)＝x/2 (x=1/2^n,nは0以上の整数、のとき）
　　　　　　＝x　（それ以外のとき）

このとき　g(f(x)) は、(0,1]→Rの全単射 。
No.69274 - 2020/08/29(Sat) 15:56:01