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記事No.69327に関するスレッドです
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数lll 積分
/ どひょん
引用
学校で解答を渡されなくて困っています。どなたか模範解答教えてください。
No.69324 - 2020/09/02(Wed) 18:14:25
☆
Re: 数lll 積分
/ mathmouth
引用
計算ミスがあるかもしれません。
No.69327 - 2020/09/02(Wed) 19:19:02
☆
Re: 数lll 積分
/ X
引用
横から失礼します。
mathmouthさんの解答は断面を取る平面の位置に関する
場合分けが抜けていますので、それを補完する形で
回答を。
問題の直円柱の底面のうち、Dの底面と重なっている側の
中心に原点Oを取り、問題文中の「長さ√3の線分」に
平行となるようにx軸を取ります。
今、原点を通り、x軸に垂直な平面によるDの断面
(αとします)を考えると
この断面は直角三角形になっており、
底辺の長さは
1+√{1-{(√3)/2}^2}=1+1/2=3/2
高さは1
さて、x軸上のx座標がxである点を通り、x軸に垂直な
平面でDを切った断面の面積をS(x)とすると
(i)0≦x≦(√3)/2のとき
断面はαと相似な直角三角形
となっており、更に底辺の長さは
√(1-x^2)+1/2
∴S(x)=(1/2){√(1-x^2)+1/2}・(2/3){√(1-x^2)+1/2}
=(1/3){√(1-x^2)+1/2}^2
=(1/3){5/4-x^2+√(1-x^2)}
(ii)(√3)/2＜x＜1のとき
断面は下底の長さが
(2/3){√(1-x^2)+1/2}
=(2/3)√(1-x^2)+1/3
高さが
2√(1-x^2)
上底の長さが
(2/3)√(1-x^2)+1/3-(2/3)・2√(1-x^2)
=-(2/3)√(1-x^2)+1/3
の台形になっているので
S(x)=(1/2){{-(2/3)√(1-x^2)+1/3}+{(2/3)√(1-x^2)+1/3}}・2√(1-x^2)
=(2/3)√(1-x^2)
原点を通り、x軸に垂直な平面に関してDが対称
であることに注意すると
V=2∫[0→1]S(x)dx
=2{∫[0→(√3)/2](1/3){5/4-x^2+√(1-x^2)}dx+∫[(√3)/2→1]{(2/3)√(1-x^2)}dx}
=(2/3)∫[0→(√3)/2]{5/4-x^2+√(1-x^2)}dx+(4/3)∫[(√3)/2→1]√(1-x^2)}dx
=(2/3)∫[0→(√3)/2](5/4-x^2)dx+(2/3)∫[0→1]√(1-x^2)}dx
+(2/3)∫[(√3)/2→1]√(1-x^2)}dx
=(2/3)[(5/4)x-(1/3)x^3][0→(√3)/2]+(2/3)・(1/4)(半径1の円の面積)
+(2/3)∫[π/3→π/2]{(cosθ)^2}dθ
(注：第3項はx=sinθと置いて置換積分した)
=1/√3+π/6+(1/3)∫[π/3→π/2](1+cos2θ)dθ
=1/√3+π/6+(1/3)[θ+(1/2)sin2θ][π/3→π/2]
=1/√3+π/6+(1/3){π/6-(√3)/4}
=(√3)/4+2π/9
No.69329 - 2020/09/02(Wed) 19:57:21
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Re: 数lll 積分
/ IT
引用
(√3)/2＜x＜1のとき 断面は台形では？
計算に自信ないですが、
∫[0,√3/2](2/3)((1/2+√(1-x^2))^2)dx+2∫[√3/2,1]((1/3)2√(1-x^2))dx
=2π/9+√3/4
一部の定積分は,不定積分から計算し、
一部の定積分は,特別角30°がらみなので図形的に求めるのが簡単かもしれません。
No.69330 - 2020/09/02(Wed) 20:09:09
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Re: 数lll 積分
/ ヨッシー
引用
茶々だけですが、
> (√3)/2≦x≦1のとき 断面は台形では？
ただし、上底と下底の平均は常に1/3 なので、
ほぼ長方形として扱えます。
No.69331 - 2020/09/02(Wed) 20:19:42
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Re: 数lll 積分
/ IT
引用
断面を90度変えると、切り口はすべて長方形になります。
半分の体積は
∫[0,1](√(1-x^2)(1/3+2x/3)dx+∫[0,1/2](√(1-x^2)(1/3-2x/3)dx
=(1/3)∫[0,1]√(1-x^2)dx+(1/3)∫[0,1/2]√(1-x^2)dx+(2/3)∫[1/2,1]x√(1-x^2)dx
No.69332 - 2020/09/02(Wed) 20:56:16
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Re: 数lll 積分
/ X
引用
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>どひょんさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.69329を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。
No.69333 - 2020/09/02(Wed) 20:59:07
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Re: 数lll 積分
/ どひょん
引用
>>mathmouth、X、ヨッシー、ITさんたちへ
みなさん、丁寧に教えて頂きありがとうございました。本当に助かります！今後ともよろしくおねがいします。
No.69335 - 2020/09/02(Wed) 21:16:26
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Re: 数lll 積分
/ mathmouth
引用
既にご指摘の通り、√3/2≦lxl≦1での断面を正しく捉えておりませんでした。
申し訳ありません。
No.69349 - 2020/09/05(Sat) 00:52:05
