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記事No.69431に関するスレッドです
★ 極限 / 高三理系
Twitterで拾った問題なのですが、解き方が分かりません。
どなたか教えてください！
No.69431 - 2020/09/07(Mon) 14:30:11
☆ Re: 極限 / WIZ
式が煩雑なので、p = √π, f(t) = (x^2+pt)(e^(t^2))/((x^3-p(x^2)+(p^2)x-p^3)(t^2)log(t)) とおきます。

不定積分を F(t) = ∫f(t)dt とすると、定積分は F(x)-F(p) なので、
lim[x→p]{F(x)-F(p)}
= lim[x→p]{((F(x)-F(p))/(x-p))(x-p)}
= lim[x→p]{F'(p)(x-p)}
= lim[x→p]{f(p)(x-p)}
= lim[x→p]{{(x^2+p^2)(e^(p^2))/((x^3-p(x^2)+(p^2)x-p^3)(p^2)log(p))}(x-p)}
= lim[x→p]{{(x^2+p^2)(e^(p^2))/((x-p)(x^2+p^2)(p^2)log(p))}(x-p)}
= lim[x→p]{(e^(p^2))/((p^2)log(p))}
= (e^(p^2))/((p^2)log(p))
= (e^π)/(πlog(√π))
= 2(e^π)/(πlog(π))

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
No.69432 - 2020/09/07(Mon) 15:43:45
☆ Re: 極限 / X
＞＞WIZさんへ
＞＞= lim[x→p]{((F(x)-F(p))/(x-p))(x-p)}
から
＞＞= lim[x→p]{F'(p)(x-p)}
とはならないのでは？。



ガリガリ計算するのであれば以下のようになります。
(かなり見難くなっていますのでご容赦ください。)

x^3-(√π)x^2+πx-π√π=(x-√π)(x^2+π)
∴極限を求める定積分をI(x)とすると
I(x)={1/{(x-√π)(x^2+π)}}
・{(x^2)∫[√π→x]{{e^(t^2)}/{(t^2)logt}}dt+(√π)∫[√π→x]{{te^(t^2)}/{(t^2)logt}}dt}
={(x^2)/(x^2+π)}{1/(x-√π)}∫[√π→x]{{e^(t^2)}/{(t^2)logt}}dt
+{(√π)/(x^2+π)}{1/(x-√π)}∫[√π→x]{{te^(t^2)}/{(t^2)logt}}dt

∴(与式)={π/(π+π)}(e^π)/(πlog√π)+{(√π)/(π+π)}{(√π)e^π}/(πlog√π)
=(e^π)/(πlog√π)
=(2e^π)/(πlogπ)
No.69435 - 2020/09/07(Mon) 17:44:25
☆ Re: 極限 / WIZ
まあ確かに以下の式変形は一見強引に見えますね!
lim[x→p]{((F(x)-F(p))/(x-p))(x-p)} = lim[x→p]{F'(p)(x-p)}
# 書き込んだ後、編集ないしは追加発言しようかとも思ったけど、放置してました! 失礼。

x→p だから x ≠ p として、
区間 [min(x, p), max(x, p)] で F(t) は有限かつ微分可能だから(ラグランジュの)平均値の定理より、
min(x, p) < c < max(x, p) かつ (F(x)-F(p))/(x-p) = F'(c) = f(c) となる c が存在する。
# (F(max(x, p))-F(min(x, p)))/(max(x, p)-min(x, p)) と書くべきかもしれないが、
# これは (F(x)-F(p))/(x-p) または (F(p)-F(x))/(p-x) であり、
# (F(x)-F(p))/(x-p) = (F(p)-F(x))/(p-x) であるため、(F(x)-F(p))/(x-p) と書いた。

また、x→p ならば c→p であると言える。よって、
lim[x→p]{((F(x)-F(p))/(x-p))(x-p)}
= lim[x→p, (min(x, p) < c < max(x, p)]{F'(c)(x-p)}
= lim[x→p, (min(x, p) < c < max(x, p)]{f(c)(x-p)}
= lim[x→p, c→p]{{(x^2+pc)(e^(c^2))/((x^3-p(x^2)+(p^2)x-p^3)(c^2)log(c))}(x-p)}
= lim[x→p, c→p]{{(x^2+pc)(e^(c^2))/((x-p)(x^2+p^2)(c^2)log(c))}(x-p)}
= lim[x→p, c→p]{{(x^2+pc)/(x^2+p^2)}{(e^(c^2))/((c^2)log(c))}}
= (e^(p^2))/((p^2)log(p))

・・・そんな訳で、F(t) が t = p の近傍で平均値の定理が使えるのなら、
lim[x→p]{((F(x)-F(p))/(x-p))(x-p)} = lim[x→p]{F'(p)(x-p)} は成立すると思います。

以上、言い訳完了のつもり
No.69449 - 2020/09/07(Mon) 21:35:13
☆ Re: 極限 / IT
横から失礼します。

f(t) = (x^2+pt)(e^(t^2))/((x^3-p(x^2)+(p^2)x-p^3)
もF(t) も　x によっても変化する関数（２変数関数）なので　少しややこしいですね。

lim[x→p]{F'(p)(x-p)} と書くと　あたかもF'(p)はxによらず定まるように見えて、
そうだとすると
lim[x→p]{F'(p)(x-p)}＝0　となりますが、おかしいですね。　
　
No.69452 - 2020/09/07(Mon) 23:10:19
☆ Re: 極限 / WIZ
表記だけの問題なら、

f(t, x) = (x^2+pt)(e^(t^2))/((x^3-p(x^2)+(p^2)x-p^3)(t^2)log(t))
F(t, x) = ∫[p, x]f(t, x)dt (x を t とは無関係な定数とみなした t による積分)
とすると、

F(t, x) において x を t とは無関係な定数とみなした t による(常)微分、
即ち t による偏微分 (∂/∂t)F(t, x) = Ft(t, x) を考えれば、Ft(t, x) = f(t, x) です。
# あっ、スレ主さん、高三理系って書いてある?!

lim[x→p]{F'(p)(x-p)} というか lim[x→p, (min(x, p) < c < max(x, p)]{F'(c)(x-p)}
を以下のように書き換えれば

lim[x→p]{F(x, x)-F(p, x)}
= lim[x→p]{((F(x, x)-F(p, x))/(x-p))(x-p)}
= lim[x→p, (min(x, p) < c < max(x, p)]{Ft(c, x)(x-p)}
= lim[x→p, (min(x, p) < c < max(x, p)]{f(c, x)(x-p)}

となると思いますが、上記でもまだ不備があるのなら発言を撤回します(超無責任!)
No.69456 - 2020/09/08(Tue) 10:13:23