この函数は同次函数ではないですよね？
定数αを用いて、f(αx,αy) = αf(x,y) が成り立つとき同次函数だと習いました。
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No.69581 - 2020/09/17(Thu) 18:09:32
| ☆ Re: 函数について / 劣等生き物 | | | > この函数は同次函数ではないですよね？
> 定数αを用いて、f(αx,αy) = αf(x,y) が成り立つとき同次函数だと習いました。
私の勘違いかもしれませんが…
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関数 f(x,y) が任意の実数 x 、y 、 α に対して
f(αx,αy) = αf(x,y)
が成り立つとき、f(x,y) を １次同次関数というのだと思います。
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関数 f(x,y) が任意の実数 x 、y 、 α に対して、ある 実数 ｎ が存在して
f(αx,αy) = (α^ｎ)f(x,y)
が成り立つとき、f(x,y) を ｎ次同次関数というのだと思います。
ｎは実数でよくて、かならずしも整数とは限らないものと記憶しております。
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No.69585 - 2020/09/17(Thu) 20:22:08 |
| ☆ Re: 函数について / 劣等生き物 | | | > すみません。間違えていました。
> f(αx,αy) = α^n*f(x,y)
> が成り立つとき、ｎ次同次函数であると習いました。
> 私の質問の意図としては、
> f(αx,αy)=(αx+αy)/{(αx)^2+(αy)^2}^{1/3}
> ですが、これを変形することにより、nを実数として
> α^n*f(x,y) の形へ変形できるのかどうか、という質問でした。お騒がせして申し訳ありません。
f(αx,αy)=(αx+αy)/{(αx)^2+(αy)^2}^{1/3}
の分母を g(αx,αy)、分子を h(αx,αy)、とします。
h(αx,αy) = (αx+αy) = α(x+y)
g(αx,αy) = {(αx)^2+(αy)^2}^{1/3} = [{(αx)^2+(αy)^2}]^[1/3] = [{α^2}{(x)^2+(y)^2}]^[1/3] = [{α^2}]^[1/3]] * [{(x)^2+(y)^2}]^[1/3]
= [α^{2/3}] * [{(x)^2+(y)^2}]^[1/3]
f(αx,αy) = h(αx,αy)/g(αx,αy)
= [α(x+y)]/[{α^(2/3)} * {x^2+y^2}^{1/3}]
= [{α}/{α^(2/3)}] * [(x+y)/(x^2+y^2)^(1/3)]
= [α^(1/3)] * [(x+y)/(x^2+y^2)^(1/3)]
= [α^(1/3)] * f(x,y)
大括弧や中括弧や小括弧などを多用してくどく計算しましたが、結果としては、(1/3)次の同次関数になっていることかと思われます。
気持ちとしてはαについてくくり出す方針です。
なお、これまでのお話しで、原点、すなわち x=0、y=0 についてはいちいち断り書きをしないで参りました。 申し訳ありませんでした。
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No.69596 - 2020/09/18(Fri) 09:54:58 |
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