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記事No.69694に関するスレッドです
★ 回転体問題 / カテウ
〔１〕
?@(x^2)+2(y^2)=3をy軸回転した領域
{範囲:(-√3)≦x≦(√3)}の体積V(1)を求めよ。
?Ay=(1/4){(x^2)+1}をy=xで斜軸回転した領域
{範囲:(2-√3)≦x≦(2+√3)}の体積V(2)を求めよ。
?B?@,?Aの立体が重なった領域の体積V(3)を求めよ。
　
この問題の?B番の計算方法と答えが分かりません。?@から?Bまで解くのには相当時間がかかると思います。一緒に考えて頂ける方ご教授願います。
No.69649 - 2020/09/21(Mon) 00:26:37
☆ Re: 回転体問題 / IT
面倒そうですね。
?@の軸に垂直な平面での断面を考えるか
?Aの軸に垂直な平面での断面を考えるか
その他かですかね

図や出来たとこまでは載せられたほうが、回答が着きやすいと思いますよ。

出典は何ですか？
No.69675 - 2020/09/21(Mon) 17:18:32
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
遅れてしまいすみません。返信ありがとうございます。出典は私の通う難関校大学の恩師からの問題です。?@,?A問は高校生の範囲で解ける問題でしたので30分以上はかかりましたが解けました。ですが?Bは恩師には難問といわれ、詳しく話しますと、?@?Aのグラフが重なった場所、つまり楕円とラグビー型の立体が重なった場所を求める問題で、図を詳しく描くと大変だと言われ、ジオグラフィなどで図を描くことを勧められました。自分でも試行錯誤してみたのですが解き方が本当に分からずこの掲示板の凄腕さんに相談しにきました。かなり難問だと思いますが一緒に考えて下さると助かります。
No.69677 - 2020/09/21(Mon) 19:44:43
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
返信ありがとうございます！
ちなみに私が計算した所(計算間違えしてなければ)?@は2(√6)π^2、?Aは{(3√6)/10}πになりました。AとBに代入して送ってもらった通りに詳しく考えてみます。恩師もいろんな方法があるとおっしゃっていましたが...やはり数学は面白いですね！
No.69685 - 2020/09/21(Mon) 23:59:57
☆ Re: 回転体問題 / 関数電卓
ごめんなさい。計算ミスがあったので，ひとつ上のレスを消去してしまいました。こんなに早くリアクションがあると思わなかった。明日（以降）計算を修正し再度書き込みます。
No.69686 - 2020/09/22(Tue) 00:07:10
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
返信ありがとうございます。明日も詳しく考えて見ます！色々お掛けして申し訳ありません。感謝しても仕切れません。
No.69687 - 2020/09/22(Tue) 00:23:27
☆ Re: 回転体問題 / 関数電卓
原点 O を通り xy 平面に垂直に（手前向きに）z 軸をとります。

　楕円 x^2＋2y^2＝3，z＝0 …(1) を y 軸の回りに回転した回転楕円体は
　x^2＋2y^2＋z^2＝3 …(2)
　放物線 y＝(1/4)(x^2＋1)，z＝0 …(3)

(2)(3)を
　x＝(1/√2)(X−Y)，y＝(1/√2)(X＋Y)，z＝Z …(4)
で z 軸の回りに45°回転すると

　楕円体 3X^2＋2XY＋3Y^2＋2Z^2＝6 …(5)
　放物線 4√2(X＋Y)＝X^2−2XY＋Y^2＋2
　　Y について解いて Y＝X＋2√2−√(8√2X＋6 …(6)
(6)を X 軸の回りに回転すると
　回転放物面 Y^2＋Z^2＝(X＋2√2−√(8√2X＋6))^2 …(7)

平面 X＝k と(5)(7)の交線は
　楕円 3(Y＋k/3)^2＋2Z^2＝6−8k^2/3 …(8)
　円　 Y^2＋Z^2＝(k＋2√2−√(8√2k＋6))^2 …(9)

求める立体の体積は，(8)(9)両方の内部を積分すれば求まりますが，これは容易ではなさそうです。
No.69694 - 2020/09/22(Tue) 10:05:24
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
返信ありがとうございます！
とても細かくまとめてくださり...さぞ打つの大変だったでしょう。どうお礼すれば...すみません！私も関数電卓さんに教わった通りに積分...し詳しく最後まで解いてみます！本当にありがとうございます。
No.69696 - 2020/09/22(Tue) 10:18:49