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記事No.69729に関するスレッドです
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複素積分
/ あか
引用
(3)の問題を教えてください。
No.69728 - 2020/09/24(Thu) 17:03:04
☆
Re: 複素積分
/ あか
引用
自分が解くと画像のようになりました。
間違えてるでしょか。それともie^(-4πi/5)が1/sin(π/5)に変形できるのでしょうか。
No.69729 - 2020/09/24(Thu) 17:04:54
☆
Re: 複素積分
/ X
引用
一行目の最後の項である1/2はどのような意味で
付けられましたか？
No.69730 - 2020/09/24(Thu) 17:27:44
☆
Re: 複素積分
/ あか
引用
求める積分範囲が[0,∞]なので、[-∞、∞]の半分になると考えました。
No.69731 - 2020/09/24(Thu) 17:32:30
☆
Re: 複素積分
/ X
引用
間違えています。
それは積分路が上半分の半円になる場合です。
(1)の結果をよく見ましょう。
積分路であるD_Rの境界をCとして
Cを
C[1]:z=x(x:0→R)
C[2]:z=Re^(iθ) (θ:0→2π/5)
C[3]:z=xe^(i2π/5)(x:R→0)
に分けて積分をすると
∫[C]f(z)dz=∫[C[1]]f(z)dz+∫[C[2]]f(z)dz+∫[C[3]]f(z)dz (A)
(A)の左辺には留数定理を使い、右辺の
第1項、第3項は置換積分を使うと
2πie^(-i4π/5)={1-e^(i2π/5)}∫[x:0→R]dx/(1+x^5)+∫[C[2]]f(z)dz
ここでR→∞を考えると
∫[C[2]]f(z)dz→0 (証明は省略します)
∴2πie^(-i4π/5)={1-e^(i2π/5)}∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)
となるので
∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)={2πie^(-i4π/5)}/{1-e^(i2π/5)}
=2πi/{e^(i4π/5)-e^(i6π/5)}
=2πi/{e^(i4π/5)-e^(-i4π/5)}
=2πi/{2isin(4π/5)}
=π/sin(4π/5)
=π/sin(π/5)
となります。
No.69732 - 2020/09/24(Thu) 17:46:06
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Re: 複素積分
/ GandB
引用
> ∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)=
> ・・・・・
> =π/sin(π/5)
∫[x:0→∞]dx/(1+x^5) = π/5sin(π/5)
なので（分母の5を追加）留数のところがおかしいのでは？
No.69739 - 2020/09/24(Thu) 23:23:03
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Re: 複素積分
/ X
引用
＞＞GandBさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞あかさんへ
ごめんなさい。GandBさんの仰る通りです。
留数の値の分母の5が抜けていました。
No.69748 - 2020/09/25(Fri) 18:29:08
