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記事No.69844に関するスレッドです
★ (No Subject) / さやか
取っ掛かりがわかりません。
よろしくお願いします。
もし宜しければ、最後まで解答解説していただけたら嬉しいです。
No.69844 - 2020/09/30(Wed) 19:43:01
☆ Re: / らすかる
条件から(最小値)=-(最大値)なので、最大値を求めれば最小値もただちに（マイナスを付けた数と）わかる。
a^2+b^2＜1のとき最大値ではない（aを大きくすることが出来るから）ので、
a+b+c+dが最大値をとるときa^2+b^2=1
同様に、c^2+d^2＜1のときも最大値ではないので、a+b+c+dが最大値をとるときc^2+d^2=1
よってa+b+c+dが最大値をとるときa^2+b^2+c^2+d^2=2
8=4(a^2+b^2+c^2+d^2)
=(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2+(a+b+c+d)^2
から(a+b+c+d)^2はa=b=c=d=1/√2のとき最大値8となる。
a=b=c=d=1/√2は条件を満たしているから、
a+b+c+dはa=b=c=d=1/√2のとき最大値2√2、a=b=c=d=-1/√2のとき最小値-2√2をとり、
a=b=c=dのまま値を変化させることでその間の値はすべてとり得る（条件を満たす）ので、
a+b+c+dのとる値の範囲は-2√2≦a+b+c+d≦2√2。
No.69846 - 2020/09/30(Wed) 21:54:00
☆ Re: / IT
らすかるさんが回答済みですが、せっかくなので書き込みます。　後半少しちがう方法です。

f(a,b,c,d)=a+b+c+d とおく
f(a,b,c,d)の最大値を求める。
f(a,b,c,d)が最大となるとき
　a,b,c,d≧0であることは容易に分かる。
　a^2+b^2＜1 とすると　a'^2+b^2＝1となるa'＞0をとると　a＜a'なので

f(a,b,c,d)＜f(a',b,c,d)となるので　a^2+b^2＝1
同様に　b^2+c^2=1,c^2+d^2=1
∴　c=a,d=b　よって　f(a,b,c,d)=2(a+b)

したがって、a^2+b^2＝1の条件下でa+bが最大になるときを調べればよい。

あと、ラスカルさんの回答のように最大値と最小値の間の任意の値をとり得ることも示す必要があります。
No.69848 - 2020/09/30(Wed) 21:59:11
☆ Re: / らすかる
> ITさん
a^2+b^2=1とc^2+d^2=1はaとdが一つの不等式にしか登場しませんので言えますが、
b^2+c^2=1は同じ方法では言えないのでは？
（∵b^2+c^2＜1のときbやcを増やすと他の条件を満たさなくなる可能性がある）
No.69849 - 2020/09/30(Wed) 22:04:48
☆ Re: / IT
らすかるさん＞・・・
ご指摘ありがとうございます。そうですね。　私の解答はまちがいです。

この問題の場合は、
　b^2+c^2≦1 の条件をいったん棚上げして、
　a^2+b^2≦1のときのa+bの最大値,c^2+d^2≦1のときc+dの最大値を調べて
　a+b,c+dがそれぞれ最大となるとき　a＝b＝c＝d＝1/√2なのでb^2+c^2≦1 も満たす。・・・とすると大丈夫かもしれませんね
No.69850 - 2020/09/30(Wed) 22:10:19
☆ Re: / さやか
条件から(最小値)=-(最大値)になる理由がわかりません。
その箇所以外は理解できました！
No.69859 - 2020/10/01(Thu) 08:40:10
☆ Re: / らすかる
条件式の中の変数は全て2乗されていますので、
(a,b,c,d)が条件を満たすとき、(-a,-b,-c,-d)も条件を満たします。
よって最大値がa+b+c+dならば最小値は(-a)+(-b)+(-c)+(-d)=-(a+b+c+d)となり、
符号だけ変えたものになります。
No.69865 - 2020/10/01(Thu) 15:32:30