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記事No.69959に関するスレッドです
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(No Subject)
/ マカデミア
引用
画像の式の導出法を教えてください
No.69954 - 2020/10/06(Tue) 21:57:55
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Re:
/ GandB
引用
その式、ホントに等しいのか？
No.69955 - 2020/10/06(Tue) 21:58:21
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Re:
/ GandB
引用
あれ？ この質問削除したはずでは。
69955の投稿は私ではないけど（同じ内容を投稿したが、投稿した時間が違うという意味です）、自動的に復活するのかな（笑）。
ま、それはともかく普通に考えたら導関数を求めてから極限をとるのだろうから、-ie^(-π)にはとてもなりそうもないぞwwwwwwwwwwwww。
No.69959 - 2020/10/06(Tue) 23:06:03
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Re:
/ らすかる
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その導関数にz≒iπ（iπに近いけどiπとは異なる値）を代入すると
-ie^(-π)に近い値になりますので、答えは合っているように思えます。
No.69964 - 2020/10/07(Wed) 00:52:22
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Re:
/ GandB
引用
あちゃ！
確かにそうですね。しかし、どう証明するんだろう？
手持ちの関数論の本を引っ張り出して見ても似たような問題がない。
No.69966 - 2020/10/07(Wed) 06:35:22
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Re:
/ X
引用
横から失礼します。
以下、単にガリガリ計算しただけですが
証明はできるようです。
No.69959の導関数において
(第2項)+(第3項)={-2[e^{(2+i)z}](z-iπ)^2+2[e^{(1+i)z}](z-iπ)(1+e^z)}/(1+e^z)^3
=2{e^{(1+i)z}}[{-(e^z)(z-iπ)^2+(1+e^z)(z-iπ)}/(1+e^z)^3]
これのz→iπの場合を考えるとき、[]内にロピタルの定理を3回適用すると
(第2項)+(第3項)→-e^(-π+iπ)=e^(-π)
一方
g(z)=e^z
とすると
lim[z→iπ]=(z-iπ)/(1+e^z)=1/g'(iπ)=-1
∴No.69959の導関数においてz→iπのとき
(第1項)→(1+i)e^(-π+iπ)=-(1+i)e^(-π)
ということでz→iπのとき
(No.69959の導関数)→-(1+i)e^(-π)+e^(-π)=-ie^(-π)
(かなり端折った計算ですので間違えていたらごめんなさい。)
No.69967 - 2020/10/07(Wed) 06:43:01
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Re:
/ GandB
引用
ああ、なるほど！
関数論は等角写像と実関数の定積分への応用ぐらいしか覚えてないので、とても勉強になります（笑）。ありがとう。
No.69968 - 2020/10/07(Wed) 07:53:39
