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記事No.70042に関するスレッドです
★ 角錐 / エヴァ
七角錐において、OA1= OA2= OA3 = …OA7=a、A1A2= A2A3=A3A4= …A7A1=bとする。
点P1を辺OA2上、点P2を辺OA3上、…点P6を辺OA7上にそれぞれとる。A1P1+P1P2+…P6A1が最小となるとき、線分OP1の長さを求めよ。また体積も求めよ。
お願いします。
No.70029 - 2020/10/09(Fri) 18:58:27
☆ Re: 角錐 / 関数電卓
体積は容易に求まる。
底面の正７角形の外接円の半径 r は，r＝b/(2sin(π/7))。
底面の面積 S は，S＝7b^2/(4tan(π/7))
角錐の高さ h は，h＝√(a^2−r^2)

OP1 の方は，かなり大変な計算になりそう。
図のように，A4A5の中点を B とし，OB に垂直でかつ A1 を通る平面でこの角錐を切断したときの断面が，求める最短線。図の C は切断面と OB の交点で，A1C⊥OB。
この平面と OA2 との交点を求める。

すみません。食指が動きません。よって，断面との交線も描けませんでした。
No.70042 - 2020/10/09(Fri) 22:59:30
☆ Re: 角錐 / らすかる
∠A1OA2≧π/7の場合、展開図で頂点に集まる角の合計角度がπ以上になり、
A1P1+P1P2+…+P6A1が最短となるのはP1=P2=P3=…=P6=Oの場合でOP1=0
∠A1OA2＜π/7の場合、展開図で二つのA1を線分で結ぶとOA2,OA3,…,OA7の
すべてを横切るので、これらの交点がP1,P2,…,P6である場合が最小となる。
このときP3P4の中点をM、∠A1OA2=2θとすると
OM=acos7θ, OP1cos5θ=OMからOP1=acos7θ/cos5θ
asinθ=b/2から
cos5θ=cosθ(b^2+ab-a^2)(b^2-ab-a^2)/a^4
cos7θ=-(cosθ)(b^3+ab^2-2a^2b-a^3)(b^3-ab^2-2a^2b+a^3)/(a^6)
なので
OP1=-(b^3+ab^2-2a^2b-a^3)(b^3-ab^2-2a^2b+a^3)/{a(b^2+ab-a^2)(b^2-ab-a^2)}

また
一辺がbの正七角形の外接円の半径はb/{2sin(π/7)}であることから
正七角錐の高さは√{a^2-b^2/{2sin(π/7)}^2}とわかり、
底面の面積は7b^2tan(5π/14)/4なので、体積は
(1/3){7b^2tan(5π/14)/4}√{a^2-b^2/{2sin(π/7)}^2}
=7b^2tan(5π/14)√{{2a^2sin(π/7)}^2-b^2}/{24sin(π/7)}

# 計算はご確認下さい。


追記
∠A1OA2≧π/7 ⇔ b≧2asin(π/14)
∠A1OA2＜π/7 ⇔ b＜2asin(π/14)
なので、OP1の長さは
b≧2asin(π/14)のとき 0
b＜2asin(π/14)のとき
-(b^3+ab^2-2a^2b-a^3)(b^3-ab^2-2a^2b+a^3)/{a(b^2+ab-a^2)(b^2-ab-a^2)}
となります。
No.70045 - 2020/10/09(Fri) 23:18:51
☆ Re: 角錐 / らすかる
> 関数電卓さん
> 図のように，A4A5の中点を B とし，OB に垂直でかつ A1 を通る平面でこの角錐を切断したときの断面が，求める最短線。

これはOA1で切って側面を展開図にしたとき、切断線が直線になりませんので
最短ではないと思います。
No.70049 - 2020/10/09(Fri) 23:34:45
☆ Re: 角錐 / 関数電卓
とでもない珍回答を書いてしまい，大変失礼しました。
回答は，よく検証してから書かなければいけませんね。丸ごと削除したいくらいですが，そうもいきません…
No.70093 - 2020/10/11(Sun) 13:33:38