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記事No.70094に関するスレッドです
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不等式
/ ろっとむ
引用
よろしくお願いいたします。
No.70091 - 2020/10/11(Sun) 12:56:16
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Re: 不等式
/ らすかる
引用
rcosθ=x, rsinθ=yとすると
log[2]{(2-x^2-y^2)/(x+y)}≦1
0＜(2-x^2-y^2)/(x+y)≦2
(2-x^2-y^2)/(x+y)=2 または 0＜(2-x^2-y^2)/(x+y)＜2
(2-x^2-y^2)/(x+y)=2 から
2-x^2-y^2=2(x+y) かつ x+y≠0
(x+1)^2+(y+1)^2=4 かつ x+y≠0
→中心(-1,-1)半径2の円周から(1,-1)と(-1,1)を除いた曲線
0＜(2-x^2-y^2)/(x+y)＜2 から
-1＜(2-x^2-y^2)/(x+y)-1＜1
-1＜(2-x^2-y^2-x-y)/(x+y)＜1
{(2-x^2-y^2-x-y)/(x+y)}^2＜1
(2-x^2-y^2-x-y)^2＜(x+y)^2 かつ x+y≠0 →x+y≠0は第1式に含まれるので不要
(x^2+y^2+x+y-2)^2＜(x+y)^2
(x^2+y^2+x+y-2)^2-(x+y)^2＜0
{(x^2+y^2+x+y-2)+(x+y)}{(x^2+y^2+x+y-2)-(x+y)}＜0
(x^2+y^2+2x+2y-2)(x^2+y^2-2)＜0
{(x+1)^2+(y+1)^2-4}(x^2+y^2-2)＜0
→原点中心半径√2の円と中心(-1,-1)半径2の円のどちらか一つの円の内部
No.70094 - 2020/10/11(Sun) 14:39:15
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Re: 不等式
/ ろっとむ
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ありがとうございます。大変そうですが、真数部分の分母を√2rsin（θ+π/4）とおいて解いたりすることは可能でしょうか？
No.70096 - 2020/10/11(Sun) 15:10:36
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Re: 不等式
/ らすかる
引用
どうでしょう？
中心が原点からずれた円が出てきますので、極座標では面倒になる気がします。
でも私が極座標に慣れていないだけかも知れません。
No.70097 - 2020/10/11(Sun) 15:30:00
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Re: 不等式
/ IT
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極方程式での解法 途中まで （円の極方程式を調べてやってみました）
0＜(2-r^2)/((√2)rcos(θ-π/4) ≦2
cos(θ-π/4)＞0すなわち-π/4＜θ＜3π/4…(A)のとき
2-r^2＞0…(1) かつ 2-r^2≦2(√2)rcos(θ-π/4)…(2)
(1)は原点中心、半径√2の円の内側（円周含まず）
(2)を整理すると r^2-2r(√2)cos(θ-5π/4)+(√2)^2≧2^2
これは 中心 極座標（√2,5π/4),半径2の円の外側（円周含む）
(A)(1)(2)の共通部分（らすかるさんの図の右上部分）
cos(θ-π/4)＜0の部分も 同様にできます。
No.70102 - 2020/10/11(Sun) 21:02:57
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Re: 不等式
/ ろっとむ
引用
極方程式よく思い浮かびましたね。凄くて感激しました。
流石にこれ以上の解法はありませんよね？
No.70105 - 2020/10/11(Sun) 22:49:14
