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記事No.70110に関するスレッドです
★ 部分集合の族の写像 / マカデミア
(2)(3)を教えてください
No.70110 - 2020/10/12(Mon) 00:06:47
☆ Re: 部分集合の族の写像 / ast
何に詰まっているのか確認したいので, (3) の略解 (肝心なところをわざと抜かしたので, そのままレポートとして提出したらまず突き返されるレベル) のみ示します.

(3) y∈(右辺) をとれば f(x_n)=y となる x_n∈X_n が各 n についてとれるが, 逆像 f^(-1) に関する有限性の仮定から x∈f^(-1)({y}) で無限個の n に対し x=x_n となるものがなければならない. このとき集合列 X_n に関する単調性の仮定からすべての n に対して x∈X_n が成り立ち, かつ作り方から y=f(x) だったから y は左辺に入る.//

#f が単射というのは f の値域の各元の逆像がどれも 1 個の元しか持たないことだから
# (つまり (3) は (2) の実質的な一般化といえる主張になってるので), (2) も同様の流れで証明できる.
## ただし単射の場合は X_n が単調減少でなくても x=x_n (for ∀n) が出るから,
## (2) は (3) の特別な場合よりは主張が一般になっているし証明も単純.
No.70161 - 2020/10/13(Tue) 13:44:38
☆ Re: 部分集合の族の写像 / マカデミア
x∈f^(-1)({y}) が有限かつ単調減少より、下限xが存在するので、x∈Xnが成立するということでよろしいですか？
No.70176 - 2020/10/14(Wed) 00:25:59
☆ Re: 部分集合の族の写像 / ast
# ちょっとごちゃごちゃ書きすぎたので, 修正してやや論点を絞りました (本筋は変わってない).

当然ダメです. 明らかにダメな理由として:
•「有限」は集合 f^(-1)({y}) に属する元の個数が有限個であるという話
• 単調減少なのは集合列 X_n
なので「有限かつ単調減少」なものはここには一切存在していないし, あるいは, そもそも考えるベースになっている集合 A 自体に大小を考えるための順序関係や元の極限操作ができる構造が入っているとは限らないので, そもそも x や x_n の大小や増減というのを考えるのはナンセンスで,「x が下限」はこの文脈上全く意味が通りません.

その部分で示すべき非自明な主張は
　[ii] 集合列 X_n が包含関係に関して単調減少であるとき, 無限個の n に対し x∈X_n ならばすべての n に対して x∈X_n が成り立つ
ですから, これをきちんと証明しなければいけません.
## この主張を示すにあたっては, もはや f^(-1)({y}) は関係ないとわかると思います.

それ以前に
　[i] f^(-1)({y}) が有限集合ならば x∈f^(-1)({y}) で無限個の n に対し x=x_n となるものが存在しなければならない.
は示せますか? (もちろん, y∈(右辺) や x_n∈X_n は No.70161 で述べたようにとります)
これもちゃんと証明してその内容をここに述べてください.

## これで良いかと問う場合, 私の略証におけるギャップをすべて埋めた証明の全体を書くべきです.
## (でないと, 何がきちんと示せているか, ギャップに気づかずスルーしたような箇所がないか,
## などがチェックから漏れてしまいます. 一カ所でもダメだと証明とはいえないですしね)
No.70177 - 2020/10/14(Wed) 02:52:51
☆ Re: 部分集合の族の写像 / マカデミア
返信ありがとうございます。
明日以降にもう一度返信します。

お手数おかけしして申し訳ございません。
No.70192 - 2020/10/14(Wed) 18:24:18