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記事No.70151に関するスレッドです
★ 微分方程式 / meow
数III？でしょうか
図などで想像することはできるのですが解き方がわかりません．
教えていただきたいです．
No.70151 - 2020/10/13(Tue) 05:01:10
☆ Re: 微分方程式 / X
これは「現在の」高校数学の過程では範囲外の問題です。
そのことを前提にして以下の回答をご覧下さい。

(1)
曲線y=f(x) (A)
上の点(a,f(a))(但しa＞0)における
接線の方程式は
y=f'(a)(x-a)+f(a) (B)
ここで(B)と原点との距離が上記の接点の
x座標のaであるとき、点と直線との間の
距離の公式により
|f'(a)(-a)+f(a)|/√{{f'(a)}^2+1}=a
よって求める微分方程式は
|-xf'(x)+f(x)|/√{{f'(x)}^2+1}=x

(2)
(1)の結果より
{-xf'(x)+f(x)}^2={{f'(x)}^2+1}x^2
これより
-2xf'(x)f(x)+{f(x)}^2=x^2
{x{{f(x)}^2}'-{f(x)}^2}/x^2=-1
{{{f(x)}^2}/x}'=-1
両辺xで積分すると
{{f(x)}^2}/x=-x+C (Cは任意定数) (C)
ここで条件からf(1)=1ゆえ
1=-1+C
∴C=2
よって(C)より
{f(x)}^2=2x-x^2 (C)'
ここで(A)は第1象限にあることから
f(x)＞0
∴f(x)=√(2x-x^2)

注1)
(C)'に(A)を代入して少し変形すれば
曲線(A)は
点(1,0)を中心とする半径1の円のうち、
第1象限に存在する半円の部分
となることが分かります。

注2)
微分方程式が高校数学の過程の範囲内であったときの
この類の演習問題において、出題される微分方程式は
大抵、変数分離法で解く形のもので、この問題のように
商の微分を使って解くものは珍しいです。
(「変数分離法」についてはネットなど調べてみて下さい。)
No.70152 - 2020/10/13(Tue) 07:07:02
☆ Re: 微分方程式 / X
ごめんなさい。No.70152において誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.70165 - 2020/10/13(Tue) 17:18:19
☆ Re: 微分方程式 / GandB
> この類の演習問題において、出題される微分方程式は
> 大抵、変数分離法で解く形のもので、この問題のように
> 商の微分を使って解くものは珍しいです。
　そうでしょうね。私など初見ではまず解けない（笑）。
　１階線形微分方程式の一般解の公式を導くとき、積の微分公式を使うけど、あれより難易度が高そうな気がする。
　個人的にはとてもおもしろい問題でした。
No.70167 - 2020/10/13(Tue) 21:07:09
☆ Re: 微分方程式 / meow
Xさん解答毎回ありがとうございます．
自分の場合法線(-1/f(x))からなんとかできないかずっと悩んでいましたが，点と直線との距離を完全に忘れていました．
最後の部分も訂正いただきましたが，そこまで誘導してくだされば十分に誤りに気付けました．毎度感謝です．
ありがとうございました．

GandBさん
商の微分，初見だとたしかに厳しいかもしれませんが，今回の例を参考に頭の中には入れておくようにします！
No.70169 - 2020/10/13(Tue) 21:15:24