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記事No.70243に関するスレッドです
★
線形代数学・行列
/ りさ
引用
大学1年
線形代数学・行列の問題です。
解き方がわかりません
教えて下さいお願いします。
No.70243 - 2020/10/16(Fri) 21:11:24
☆
Re: 線形代数学・行列
/ IT
引用
1) も分かりませんか？ 「基底」の定義はどう書いてありますか？ 定義から容易に示せると思います。
2) 「次元定理」（ちがう名称かも知れません）：（本問の）元の空間R^3の次元（＝3）とrank A と部分空間Wの次元の関係を示す定理は、既習ではないですか？「次元定理」を使えば容易に求められると思います。
3) 略証
Au[2]とAu[3]が一次独立でないと仮定すると
Au[3]＝kAu[2](k∈R) または Au[2]＝kAu[3](k∈R)
Au[3]＝kAu[2]のとき（Au[2]＝kAu[3]のときも同様）を考える。
u[1],u[2],u[3]は基底なので
x∈R^3 について x=c[1]u[1]+c[2]u[2]+c[3]u[3] となる c[1],c[2],c[3]∈Rが存在する。
Ax＝c[1]Au[1]+c[2]Au[2]+c[3]Au[3]
＝c[2]Au[2]+c[3]Au[3]
＝c[2]Au[2]+c[3]kAu[2]
＝(c[2]+kc[3])Au[2]
このとき V＝{Ax|x∈R^3} は、１次元以下となる。
ところが rankA＝2より,Vは２次元なので矛盾。
したがってAu[2]とAu[3]は一次独立である。
No.70247 - 2020/10/16(Fri) 23:55:07
