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記事No.70283に関するスレッドです
★ この極限を証明していただけませんか？ / YUKI
nを自然数とするとき、この極限を証明していただけませんか？
No.70283 - 2020/10/18(Sun) 07:48:29
☆ Re: この極限を証明していただけませんか？ / IT
n!×n! の一方を折り返して掛けると（ときどき使うテクニックです。）
　　＝(n*1)*((n-1)*2)*((n-2)*3)*...*(1*n)
ここで(n-1)*2≦(n-2)*3≦.....≧2*(n-1) です。
　　（両端のnを除くと(n-1)*2以上）　
また、n≧4 のとき, (n-1)*2/n=2-(2/n)≧3/2です。

このことから質問の極限＝0がいえると思います。
No.70284 - 2020/10/18(Sun) 09:01:00
☆ Re: この極限を証明していただけませんか？ / IT
別法
n!=1*2*3*...*n の後部の[3n/4]個はn/4 以上 であることを使って評価する。
No.70287 - 2020/10/18(Sun) 10:10:48
☆ Re: この極限を証明していただけませんか？ / IT
別法２（これが最初に思いついた方法です。こっちらが見通しが良いかも）

a[n]=(n^n)/(n!)^2 とおくと
a[n+1]/a[n]={((n+1)/n)^n}/(n+1)
={(1+(1/n))^n}/(n+1)

ここで、(1+(1/n))^n＜3（証明は自然対数の底ｅの存在を示す途中で出てきますが省略します）

よって、n≧３のとき　0＜a[n+1]/a[n]＜3/4
よって、n≧４のとき　0＜a[n]＜a[3](3/4)^(n-3)=(3/4)^(n-2)　→0（n→∞)
No.70311 - 2020/10/18(Sun) 21:18:03
☆ Re: この極限を証明していただけませんか？ / YUKI
IT　様

ありがとうございました。大変勉強になりました。
No.70347 - 2020/10/20(Tue) 05:32:21