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記事No.7032に関するスレッドです

(No Subject) / 夕暮れ
コサインθ=(1+√5)/4からθ=π/5を求めるのに3辺を1+xと1と1+xとした二等辺三角形を使うみたいなのですが、この方法がなぜθ=π/5のときだけできるのかがわかりません。どうか教えてください。
No.7029 - 2009/07/30(Thu) 06:35:30

Re: / ヨッシー
等辺をはさむ角が、36°のとき、他の角は、72°=36°の2倍
になるので、図のように、72°の2等分線を書くと、
△ABCと△BCDが相似な二等辺三角形になり、
BC=1、DC=x とすると
BC=BD=AD=1 より、AB=AC=1+x
となります。
こういう図が描けるのは、3つの角の比が
 1:2:2=36°:72°:72°
のときだけです。

それにしても、cosθ=(1+√5)/4 から、いきなりこの図を描くのは、
無理でしょう。
まるで、最初から答えを知っているかのようです。

少し考察が必要ですね。

No.7031 - 2009/07/30(Thu) 08:24:10

Re: / ヨッシー
これも、いささか答えを知ってからの解答ですが、
cosθ=(1+√5)/4 に対して、
cos2θ=2cos^2θ−1=(√5-1)/4
cos3θ=4cos^3θ−3cosθ=(1-√5)/4
ここまでで
 1>cosθ>cos2θ>0>cos3θ
 cos2θ=-cos3θ
の関係があることがわかります。
θを 0≦θ≦π/2 の範囲の角とすると、図のように
2θと3θがπ/2 をはさんで対称な位置にあります。
よって、(2θ+3θ)/2=π/2 となり、
 θ=π/5
となります。

No.7032 - 2009/07/30(Thu) 13:26:07