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記事No.70326に関するスレッドです
★ 数学3 / かん
(2)が分かりません。教えてください。
No.70325 - 2020/10/19(Mon) 03:14:31
☆ Re: 数学3 / かん
お願いします。
No.70326 - 2020/10/19(Mon) 03:15:18
☆ Re: 数学3 / X
b[n]=Σ[k=1〜n]1/k
と置くと(1)の結果から
b[n]-1＜logn＜b[n-1] (A)
一方
a[n]≦nb[n] (B)
a[n]＞Σ[k=1〜n](n/k-1)=nb[n]-n (C)
(A)(B)より
a[n]/(nb[n-1])＜a[n]/(nlogn)＜a[n]/{n(b[n]-1)}≦b[n]/(b[n]-1)=1/(1-1/b[n]) (D)
又(C)により
a[n]/(nb[n-1])＞(b[n]-1)/b[n-1]＞(b[n-1]-1)/b[n-1]=1-1/b[n-1] (E)
(D)(E)をまとめて
1-1/b[n-1]＜a[n]/(nlogn)＜1/(1-1/b[n]) (F)
ここで(A)から
lim[n→∞]b[n-1]=∞ (G)
∴b[n-1]＜b[n]により
lim[n→∞]b[n]=∞ (H)
(F)(G)(H)からはさみうちの原理により
lim[n→∞]a[n]/(nlogn)=1
No.70341 - 2020/10/19(Mon) 19:43:41