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記事No.70391に関するスレッドです
★ フーリエ変換 / yuki
以下の問題の解き方を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。
No.70391 - 2020/10/22(Thu) 19:07:42
☆ Re: フーリエ変換 / X
(1)(2)
Fourier変換の定義式にg(t)を代入し
lim[t→∞]e^(-at)=0
に注意して積分を計算します。

(3)
ネットなどで以下のキーワードを検索してみて下さい。
ガウス積分
No.70396 - 2020/10/22(Thu) 20:39:51
☆ Re: フーリエ変換 / yuki
(1)は解けたのですが(2)と(3)が分からず…
(2)以降って部分積分の形になりますか？

何度もすみません><
No.70403 - 2020/10/22(Thu) 23:59:02
☆ Re: フーリエ変換 / X
(2)
部分積分ではありません。

{e^(-at-i2πν[0]t)}e^(-i2πνt)=e^{(-a-i2πν[0]-i2πν)t}
ですので(1)と計算方針は変わりません。
No.70410 - 2020/10/23(Fri) 10:01:05
☆ Re: フーリエ変換 / X
(3)
{e^(-at^2-i2πν[0]t)}e^(-i2πνt)=e^{-(1/a)(πν[0]+πν)^2}
・e^{-a(t+iπν[0]/a+iπν/a)^2}
と変形して、以下の補題を使うと
G(ν)={√(π/a)}e^{-(1/a)(πν[0]+πν)^2}


補題)
a,pを実数(但しa＞0)とするとき
∫[-∞→∞]{e^{-a(x+ip)^2}}dx=√(π/a) (A)
(∵)
R,r＞0に対し、次の積分路を考える。
C[1]:z:-r+ip→R+ip
C[2]:z:-r→R
C[3]:z:-r+ip→-r
C[4]:z:R→R+ip
ここで関数
f(z)=e^(-az^2)
を考えると、
(A)の左辺が収束⇔
∫[-∞→∞]{e^{-a(x+ip)^2}}dx=lim[r,R→∞]∫[C[1]]f(z)dz (B)
((∵)z=x+ipと置換積分)

さて、f(z)は正則なのでCauchyの積分定理により
f(z)の経路積分は積分路の始点終点に依存し、経路に依らず
等しい値を取るので
∫[C[1]]f(z)dz=∫[C[3]]f(z)dz+∫[C[2]]f(z)dz+∫[C[4]]f(z)dz
∴∫[C[1]]f(z)dz=∫[z:-r+ip→-r]{e^(-az^2)}dz+∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[z:R→R+ip]{e^(-az^2)}dz (C)
ここで右辺の第1項において
z+r=u
右辺の第3項において
z-R=U
と置換積分すると(C)は
∫[C[1]]f(z)dz=∫[u:ip→0]{e^(-a(u-r)^2)}du+∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[U:0→ip]{e^(-a(U+R)^2)}dU
整理して
∫[C[1]]f(z)dz=∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[u:0→ip]{e^(-a(u+R)^2)-e^(-a(u-r)^2)}du
∫[C[1]]f(z)dz=∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[u:0→ip]{{e^(2aRu)}/e^(aR^2)-e^(-2aru)}/e^(ar^2)}{e^(-au^2)}du (C)'
(C)'においてr,R→∞を考えると
(右辺の第2項)→0 (証明は省略します。)
又、ガウス積分により
(右辺の第1項)→√(π/a)
∴(B)により(A)は成立。

注)
補題についてはどこかに誤りがあるかもしれません。
もし補題が成立しないのであれば、この補題を使った
G(ν)の計算も誤りですので、上記の回答は
無視して下さい。
No.70411 - 2020/10/23(Fri) 11:06:00