2x^2+（4-7a）x+a (3a-2) <0の解がちょうど3個の整数を含むような正の定数aの値を求めよ。
この答えのやり方以外の方法を教えて欲しいです。
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No.70408 - 2020/10/23(Fri) 09:17:33
| ☆ Re: / らすかる | | | 2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)=0の2解をα,β（α＜β）とすると
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ={(4-7a)/2}^2-2a(3a-2)=(5a-4)^2/4
問題の条件を満たすためには、少なくとも
2^2＜(5a-4)^2/4≦4^2でなければならず、これを解いて8/5＜a≦12/5
2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)=(2x-a){x-(3a-2)}から
2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)=0の解はa/2,3a-2
8/5＜a≦12/5のとき4/5＜a/2≦6/5,14/5＜3a-2≦26/5だから
小さい方の解がa/2、大きい方の解が3a-2であり、
小さい方の解αは
8/5＜a＜2のとき0＜α＜1
a=2のときα=1
2＜a≦12/5のとき1＜α＜2
大きい方の解βは
8/5＜a＜5/3のとき2＜β＜3
a=5/3のときβ=3
5/3＜a＜2のとき3＜β＜4
a=2のときβ=4
2＜a＜7/3のとき4＜β＜5
a=7/3のときβ=5
7/3＜a≦12/5のとき5＜β＜6
となる。
従ってα＜x＜βを満たす整数の個数は
8/5＜a≦5/3のとき1,2の2個
5/3＜a＜2のとき1,2,3の3個
a=2のとき2,3の2個
2＜a≦7/3のとき2,3,4の3個
7/3＜a≦12/5のとき2,3,4,5の4個
となるから、問題の条件を満たすaの範囲は
5/3＜a＜2 と 2＜a≦7/3。
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No.70412 - 2020/10/23(Fri) 13:00:42 |
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