4-2が全く分かりません。どなたか教えて頂けると幸いです。
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No.70495 - 2020/10/27(Tue) 12:42:15
| ☆ Re: / X | | | まずJを対角化します。
条件からJの固有方程式は
t^2+1=0
∴t=i,-i
固有値1,-1に対する固有ベクトルをそれぞれ
↑a=τ_(a[1],a[2])
↑b=τ_(b[1],b[2])
(但しτ_は転置を示す記号で係数ではありません)
とすると
J↑a=i↑a (A)
J↑b=-i↑b (B)
(A)より縦ベクトルの第1成分について
-ia[1]-a[2]=0
∴a[2]=-ia[1]
∴↑a=a[1](1,-i)
(B)より縦ベクトルの第1成分について
ib[1]-b[2]=0
∴b[2]=ib[1]
∴↑b=b[1](1,i)
以上から固有値1,-1に対する固有ベクトルの
一つとしてそれぞれ
τ_(1,-i),τ_(1,i)
を対応させることができるので
T=M{(1,1),(-i,i)}
K=M{(i,0),(0,-i)}
(つまりKはJを対角化した行列
でTはJにKを対応させる行列)
とすると
K={T^(-1)}JT
∴J=TKT^(-1)
∴e^(Jt)=Σ[n=0〜∞](1/n!)(tJ)^n
=Σ[n=0〜∞](1/n!)T{(tK)^n}T^(-1)
=T{Σ[n=0〜∞](1/n!)(tK)^n}T^(-1)
=T{e^(Kt)}T^(-1) (A)
一方
e^(Kt)=M{(e^(it),0),(0,e^(-it))} (B)
(A)(B)から
e^(Jt)=M{(cost,-sint),(sint,cost)}
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No.70525 - 2020/10/28(Wed) 17:32:08 |
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