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記事No.70564に関するスレッドです
★ 条件付き極値 / ユージ
この条件付き極値問題についてです。
L(x,y,λ) = f(x,y)-λg(x,y) と置いて、∂L/∂x = ∂L/∂y = ∂L/∂λ = 0を解くことで、停留点は(x,y) = (0,b).(0,-b),(a,0),(-a,0),(a√(1-(a^4/9b^6)),a^2/3b^2),(-a√(1-(a^4/9b^6)),a^2/3b^2)　を求めるところまではいったんですが、この後、極大極小、退化をどのように判定したらいいのでしょうか。

画像を差し替えました
No.70561 - 2020/10/31(Sat) 20:49:04
☆ Re: 条件付き極値 / 関数電卓
g(x,y) についての「条件」が落ちていると思うのですが…，例えば
　g(x,y)＝x^2/a^2＋y^2/b^2＝1
のようになっていなくて良いのでしょうか！？！？
No.70563 - 2020/10/31(Sat) 23:02:17
☆ Re: 条件付き極値 / ユージ
> g(x,y) についての「条件」が落ちていると思うのですが…，例えば
> 　g(x,y)＝x^2/a^2＋y^2/b^2＝1
> のようになっていなくて良いのでしょうか！？！？

ご返信ありがとうございます。
失礼しました。訂正が入っており、その前のものを載せておりました。

条件付きHesse行列というのは、縁付ヘッシアンなどと呼ばれているものと同じなのでしょうか。

H(x,y) = |0 -g_[x] -g_[y] |
|-g_[x] f_[xx]-λg_[xx] f_[xy]-λg_[xy] |
|-g_[y] f_[yx]-λg_[yx] f_[yy]-λg_[yy] |

というものを縁付Hesse行列と呼ばれていることを、知り、この行列式の符号により、極大極小を判定できると、ネットの記事で見たのですが正しいのでしょうか。

大学で扱った資料では、この行列式の符号のほかに

H(x,y) = | 0 -g_[x] |
|-g_[x] f_[xx]-λg_[xx] |

の符号も確認する必要があると書かれており、その意味がよくわからず、混乱しています。
No.70564 - 2020/10/31(Sat) 23:14:06
☆ Re: 条件付き極値 / 関数電卓
例えば こちら とか，他検索されるのがよろしいかと思います。

課題の要求には反しますが，
　g(x,y)＝x^2/a^2＋y^2/b^2−1＝0
の場合には，
　x＝acosθ，y＝bsinθ
と置くことが出来て，１変数関数に帰着します。
ただ，こう置いて作った f(θ) の極値は，a,b についての場合分けが結構煩雑です。
No.70565 - 2020/10/31(Sat) 23:33:27