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記事No.7062に関するスレッドです
★ 点対称 / aki
こんにちは。
今日も宜しくお願いします。
C:y=x^3−3ax＋b
について
(1)変曲点Pを求めよ
(2)Cが点Pについて点対称であることを示せ
ただし一般に平面における図形Cが点Pについて点対称であるとは、点QがC上にあるときQとPについて対称な点RもC上にあることをいう

この(2)ですが、私はy'より極値を求め
Q(a､a^3−3a^2＋b)
R(−a､−a^3＋3a^2＋b)
とおき
ここでQ Rの中点を求めると(0 b)=P

よって点対称

としました

この解答はどうでしょうか？
宜しくお願いします。
No.6987 - 2009/07/28(Tue) 11:02:43
☆ Re: 点対称 / 豆
QはC上の任意の点である必要があるので
x座標がaという定点のみ成立してもだめですね。
No.6990 - 2009/07/28(Tue) 12:01:09
☆ Re: 点対称 / ロボット
ただし一般に平面における図形Cが点Pについて点対称であるとは、点QがC上にあるときQとPについて対称な点RもC上にあることをいう

よく読むこと。
君の方針でやりたいなら、この文章のいう点対称と同値であることを証明しなければならない。
No.6991 - 2009/07/28(Tue) 12:13:51
☆ Re: 点対称 / angel
特定の点の組を持ってきて点対称であることを説明しても、曲線C全体が点対称であることには繋がらないのです。
仮に、無数の組み合わせに対して点対称を示したとしても、まだ不十分です。つまり「C上の点Xと点Yの中点がPになる」という方法は不適切です。

どうすれば良いかというと、
「C上の任意の点Xに対して、XのPに関する対称点Yは、常にCに含まれる」
を説明する必要があります。
No.7017 - 2009/07/29(Wed) 23:30:13
☆ Re: 点対称 / aki
まずQをx=aという定点で定めてしまうとダメということでしょうか？
任意の点はどう表現すればいいのでしょうか？
私はa自体が任意の点という認識でいたのですが、このように書くと定点のように受け取られてしまうんですね…

どう証明していいかわからないので教えて下さい…
No.7021 - 2009/07/29(Wed) 23:55:46
☆ Re: 点対称 / angel
確かに、a も任意の値、x も任意の値と似通っているように見えますが、決定的に違いがあります。
それは、ある曲線Cを考える時には、a の値は固定されている、ということです。
逆に、x の値は動き続けています。x が様々に変化する時の (x,y) の集合体が曲線Cを形作るわけですから。

もし a が変わったとしても、またちょっと違う形の曲線Cができるだけで、そこでもやはり a は固定されています。
なので、a は単なる定数と考えて良いです。

であれば、「任意の点」をどう表すか。
それは動き続ける x に焦点をあてれば良い、となります。
まあ、x をそのまま使うと紛らわしいので、
　C上の任意の点は、実数 t を用いて (t, t^3-3at+b) と表せる
とか何とか書けば良いわけです。
No.7027 - 2009/07/30(Thu) 00:31:48
☆ Re: 点対称 / aki
つまりaは曲線Cの式に入っているし、極値をとる値でもあるから、定点とみなされるということでしょうか？
そうすると、結局aを使って極値であることを使う証明の方法はできなくなり、私の解答が不可になるということでしょうか？


No.7052 - 2009/07/31(Fri) 16:14:21
☆ Re: 点対称 / angel
いいえ。

まず原則として、変数であるのはx,y、それ以外は定数ということです。なので a,b は定数ですし、(a, a^3-3a^2+b) という点は、a,bのみで構成されているため、定点です。
曲線Cの極になっているかどうかには無関係に、です。

akiさんの解答では、添付した図の左側のように、曲線C上の2点のみをとって対称性を調べているだけであり、曲線C全体をカバーしていないため、NGなのです。

勿論、a,bの値を変えることによって、(a,a^3-3a+b),(-a,-a^3+3a+b)という点も様々に変化します。
しかしながら、これらの点は、a,bの値を変えることによって形の変化する、異なるグラフに属する点なのです。
つまり、あるCにとっては、結局2点分しか調べていないことになるのです。

図の右側のように、a,bを固定したC上で、無数の点について調べるように考えなくてはなりません。
No.7062 - 2009/08/01(Sat) 13:29:51
☆ Re: 点対称 / aki
わかりました、つまり結局曲線上の二点しか調べていないからだめなんですね。
とすると全体を調べるにはどうしたらいいのでしょうか…(>_<)
さっぱりわかりません…
No.7077 - 2009/08/01(Sat) 18:17:39
☆ Re: 点対称 / angel
No.7017とNo.7027を再度読み返してみて下さい。
No.7085 - 2009/08/01(Sat) 23:25:02
☆ Re: 点対称 / aki
わかりました、ご迷惑おかけして申し訳ありませんでした。
No.7109 - 2009/08/02(Sun) 15:38:26