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記事No.70762に関するスレッドです
★ フィボナッチの応用 / ココナッツ
xy平面上の点(0,1)を中心とする半径1の円をCとし、第一象限にあってx軸とCに接する円C ₁を考える.
次に、x軸、C、C ₁で囲まれた部分にあって、x軸とこれら2円に接する円をC ₂とする. 以下同様にC(n) (n=2,3・・・)をx軸とC、C(n-1)で囲まれた部分にあって、これらに接する円とする.
(問) C(n)の半径r(n)をaとnを用いて表せ。(円C ₁の中心のx座標をaとする.)

この問題をフィボナッチ数列の知識を使って解いていただけますか？確かフィボナッチ数列の一般項って
(1/√5){((1＋√5)/2)^n−((1−√5)/2)^n} でしたよね。
No.70755 - 2020/11/08(Sun) 19:03:06
☆ Re: フィボナッチの応用 / mathmouth
> この問題をフィボナッチ数列の知識を使って解いていただけますか？確かフィボナッチ数列の一般項って
> (1/√5){((1＋√5)/2)^n−((1−√5)/2)^n} でしたよね。
フィボナッチ数列の一般項は隣接3項間漸化式を解くと求まり、一般項が既知とすればその解く過程が省かれるだけであり別にフィボナッチ数列の応用といえるようなものではない気がします。
(あくまで得られた漸化式がたまたまフィボナッチ数列の形となっているだけで、それがフィボナッチ数列であるからとりわけ何か特別うれしいことがあるわけではありません。)

結局のところ質問の意図は、「r(n)に関する漸化式の導き方がわからないから教えてほしい」ですか？
もしくは「漸化式が得られたけれど、それをフィボナッチ数列の形に変形する術がわからないから教えてほしい」ですか？

結論から申し上げると{1/√r(n)}に関する漸化式がフィボナッチ数列の形となります
No.70758 - 2020/11/08(Sun) 20:30:26
☆ Re: フィボナッチの応用 / mathmouth
残念ながら初期条件の都合上、a=2のときには{1/√r(n)}はr(0)からはじめるとよく知られたフィボナッチ数列となりますがそれ以外のときはフィボナッチ数列の一般項の式はそのまま利用できません。(漸化式は同じでも、フィボナッチ数列は初項と第2項がともに1の特殊な場合なので、その特殊な初期条件付で得られた一般項の式を使うのは厳しいですね)
なお、一般にフィボナッチ数列を与える漸化式を満たす数列の一般項は、定数A,Bを用いて
A((1+√5)/2)^n+B((1-√5)/2)^n
と表すことができるので、これを用いて定数A,Bを初期条件により定めてやれば一般項は簡単に出ます。
(上の定数A,Bを用いた一般項の形については隣接3項間漸化式を一般的に処理してやることでわかります)

一応解答例を添付しておきます(計算ミスあるかもです)。
No.70762 - 2020/11/08(Sun) 21:15:56