べき級数∞Σn=0 （-1）^n/（2n）! × z^2nの収束半径を求める問題なのですが、係数がnが偶数の場合（-1）^（2/n）/n!になるのがなぜなのかわかりません
|
No.71051 - 2020/11/21(Sat) 17:55:15
| ☆ Re: べき級数の係数 / ast | | | /* 少し記述を整理しました */
> mは何なのでしょうか？
最初に n が「いくつめの偶数か」を表す番号として与えられているので, 偶数奇数無関係に何番目かを表す通し番号として m という (n とは別の) 文字を用意しました (ただし, ここでは n も m も 0 番目から数え始めます). つまり,
?納n=0,1,…] (-1)^n/(2n)! *z^(2n) = (+1)/0! + (0*z) + ((-1)/2!)z^2) + (0*z^3) + ((+1)/4!)z^4) + (0*z^5) + ((-1)/6!)z^6) +……
のように次数が奇数になる項も無視しないですべて書いた右辺を ?納m=0,1,…] a[m]z^m というふうにまとめたいとすると, (m は 0 から数えるとして) 第 m 項の係数 a[m] は m の式としてどう書けるのか, という話をしています.
> m/2乗になる意味がよくわかりません
m=2n のとき の (-1)^n/(2n)! を通し番号である m で表さないといけないからです. (-1)^n は n が 1 ずつ増えるにつれて +1 と -1 を交互にとりますが, m としては m が 2 ずつ増えるにつれて +1 と -1 を交互にとります (つまり m については, 三つ置き (次の偶数とそれを挟む二つの奇数を飛ばすごと) に符号が一致します).
式の上でも, m=2n のとき n=m/2 なのでもちろん (-1)^n/(2n)! = (-1)^(m/2)/m! ですね.
# いまは奇数番目について必要ないので述べていませんが, もし同様に m を偶数番目と奇数番目で分けて
# 考えていて m=2n+1 番目の係数が n をつかって与えられているという状況であれば,
# この場合は m=2n+1 ⇔ n=(m-1)/2 なので, 2n+1 番目の係数を表す n の式に n=(m-1)/2 を代入すれば
# m=2n+1 番目の係数を m の式で表せる, ということになります.
|
No.71070 - 2020/11/21(Sat) 22:05:55 |
|
