線形代数の講義で
微分方程式
dx_1/dt=-2x_1+x_2
dx_2/dt=x_1-2x_2
を行列dX/dt=AXに変換し、変数XをX＝PY（対角化）することで
一般解を求める問題がわかりません。
遅刻して問題文の板書しか残っていなかったので何が何だかさっぱりわかりません。
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No.71129 - 2020/11/24(Tue) 02:26:40
| ☆ Re: 微分方程式の一般解 / ast | | | ここに現れた dX/dt という記号は, 単に (dx_1/dt; dx_2/dt) という導函数を成分とする縦ベクトルを表すためのものと推察されます. この記号に関してやや非自明な事実として, 2×2行列 B がどの成分も x_1,x_2,t に無関係な定数であるとき, B.dX/dt = d(BX)/dt が成り立つと思われますので, ご自身で計算して確認してみてください (問題を解くのに使います).
> を行列dX/dt=AXに変換し
は, X:=(x_1; x_2), dX/dt:=(dx_1/dt; dx_2/dt), A:=(-2,1; 1,-2) と置いた, というだけなので「変換」などと表現するのは大げさに思えます (行列の形で式をまとめた, くらいのことです).
# ここでは便宜上, "," は成分を横に並べ, ";" は縦に並べることを意図しています.
> 変数XをX＝PY（対角化）することで
ここの「（対角化）」というのはちょっとおかしいですね. P が A を対角化する行列, つまり P^(-1)AP =:D と書くとき, D=(α,0; 0,β) とできるような行列という趣旨であろうと推測します.
このとき, dX/dt = (PDP^(-1))X だから, 両辺に P^(-1) を掛けて Y:=P^(-1)X と置くと, dY/dt=DY というきれいな形になります.
きれいな形というのは, 成分を明示して Y=(y_1;y_2) と書けば, (dy_1/dt; dy_2/dt) = (αy_1; βy_2), つまり dy_1/dt=αy_1 および dy_2/dt=βy_2 という各変数一つだけを含む微分方程式に帰着されたという意味で言っています. これらは容易に解けるはずですから, それぞれ解いて Y が求まり, X=PY だったから X もわかります.
もちろん, P および α, β を具体的に求めることが要求されています.
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No.71130 - 2020/11/24(Tue) 04:50:35 |
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