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記事No.71300に関するスレッドです
★ 2変数関数の連続性について / fresh
写真の問題が分かりません。
|f(x,y)-f(0,0)|の極限を調べればよいことは理解できました。試しにy=mxとおいたりや極座標変換したりしたところ、極限値は0になったのですが、あくまでも直線的な近づけ方しか検証していないことになります。すべての近づけ方で調べるにはどうすれば良いのでしょうか？
院試の勉強中なので、院試の答案としても使える解答をお願い致します。
No.71300 - 2020/12/03(Thu) 08:15:38
☆ Re: 2変数関数の連続性について / らすかる
x=t, y=t/(t^2-1) とおくと
t→0のときx,y→0だが
f(x,y)=(t^4-2t^2+2)^2/(t^3-t)^2→∞なので不連続。
No.71301 - 2020/12/03(Thu) 09:01:29
☆ Re: 2変数関数の連続性について / fresh
回答有り難うございます。
x,yをパラメータtでおいていますが、そのおき方はどのような発想から来たものでしょうか？
自分にそのおき方は思いつかなかったので...。
度々すみません。
No.71302 - 2020/12/03(Thu) 10:19:48
☆ Re: 2変数関数の連続性について / らすかる
(x+y)^2(x-y)^2=(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2)^2-(2xy)^2なので
(x^2+y^2)^2/(x+y)^2={(x^2+y^2)^2-(2xy)^2+(2xy)^2}/(x+y)^2
={(x+y)^2(x-y)^2+(2xy)^2}/(x+y)^2
=(x-y)^2+(2xy)^2/(x+y)^2
=(x-y)^2+{2xy/(x+y)}^2
=(x-y)^2+{2/(1/x+1/y)}^2
x,y→0のとき(x-y)^2→0だから
x,y→0で1/x+1/y→0となるようなx,yの関係を考えれば
2/(1/x+1/y)が発散し、(x^2+y^2)^2/(x+y)^2が発散することになります。
例えば1/x+1/y=xとしてyについて整理すると
1/y=x-1/x=(x^2-1)/x
∴y=x/(x^2-1)
となりますので、
x=t,y=t/(t^2-1)としてt→0とすれば発散します。

また、0に収束しない例を作ればよいだけなので
発散でなく0でない値に収束するようにしてもいいですね。
例えば1/x+1/y=2とすると1に収束するようになります。
これをyについて解くとy=x/(2x-1)なので
x=t,y=t/(2t-1)とおいてt→0とすれば1に収束するようになります。
実際、x=t,y=t/(2t-1)のとき
(x^2+y^2)^2/(x+y)^2={(2t^2-2t+1)/(2t-1)}^2なのでt→0で1に収束します。
No.71303 - 2020/12/03(Thu) 11:34:47
☆ Re: 2変数関数の連続性について / fresh
なるほど、対称式であることを利用して変形を進め、発散する形を作り出すということですね。難しいですが分かりやすかったです。
ただ本当に連続な関数も疑ってしまいそうです...。
有り難うございました。
No.71304 - 2020/12/03(Thu) 12:55:30
☆ Re: 2変数関数の連続性について / IT
ご自分で考えた方法（を直して）でやって見られるのも有効かと思います。
No.71331 - 2020/12/05(Sat) 11:52:42