微分方程式についての質問です。
x*y*dy/dx = 1-x^2
という微分方程式はx,y≠0の時に
dy/dx = 1/y*(1-x^2)/x
という形に変形されるので変数分離型と判定され、解くと
y = √(2log|x|-x^2+C) ,但しCは任意定数
となるのは分かるのですが、次にy=0の時を考えると、x=±1の時にも、等号を満たします。この場合、この微分方程式の解は y = 0, √(2log|x|-x^2+C) の二つなのでしょうか。また、前者を特殊解、後者を一般解と呼ぶことであっていますか？お願いいたします。
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No.71326 - 2020/12/05(Sat) 02:44:40
| ☆ Re: 微分方程式についての質問です。 / ast | | | 横から疑問をさしはさんで申し訳ないのですが,
> X さん
> この場合の特殊解は
> (x,y)=(±1,0)
> です。
これはどういう意味でおっしゃっていますか? (どこで定義されたどういうクラスの函数とみなしているのか, とくにどう微分できると仰っているのか, などをお尋ねしています)
# y=f(x) の定義域がいくつかの交わらない開集合に分かれる場合を考えるのはよくあるかと思いますが,
# 孤立点の集合でしか定義できない函数 y だとそこで微分が定義できないので, 微分方程式に代入もできず
# したがってそれが微分方程式の解になるというのもないと思います.
> またこれは一般解である
> y=±√(2log|x|-x^2+C)
> のC=1のときの更に特別な場合です
についての同様にどのような設定で含まれると仰っているのかいちおう確認させてください.
あと今回の X さんのご回答だと (x,y)=(±1,0) とやらは「一般解に含まれる解」だという趣旨なので, それを「特殊解」だと仰っても齟齬はないのですが, 質問者さんの質問内容は「一般解に含まれない解を特殊解と呼ぶのか」という意図に見えるので, 特異解と混同されているのではないか, そしてそれは X さんも同様ではないか, と危惧します.
# 少し頭がすっきりしたので内容を整理しました (まだごちゃついてますが……).
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No.71361 - 2020/12/06(Sun) 12:30:00 |
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