| 関数論の本を見ればいくらでも類題が載っていそうな問題を丸投げしているので、ここの回答はつかないだろう。
ただ、関数論の本に載っている解答は、たぶん3行くらいですませているはず。で、一番簡単そうな(1)を解いたが、意外と計算ミスしやすい。
z^3 - 1 = (z-1)(z^2+z+1) = 0
なので特異点は
z = 1, (-1±i√3)/2
で全て1位の極。z = 1 の留数は暗算でも解けるので
z = (-1+i√3)/2
の留数を求める。z = (-1-i√3)/2 の留数も同じ方法で求めればよい。
f(z) = 1/(z^3-1)
とすると
Res[z=(-1+i√3)/2]f(z)
= lim[z→(-1+i√3)/2]{ 1/(z-1)( z-(-1-i√3)/2) }
= { 1/(-1+i√3)/2-1)( -1+i√3)/2-(-1-i√3)/2) }
= 1/(-3+i√3)/2)(i√3)
= (1/(-i3√3-3)/2)
= -1/3(i√3+1)/2
= -2/3(i√3+1)
= -2(i√3-1)/3(-4)
= (i√3-1)/6
しかし、この方法は計算ミスをしやすいので、
z = (-1+i√3)/2 = e^(2πi/3)
として
Res[z=e^(2πi/3)]f(z)
= 1/3(e^(2πi/3))^2
= 1/3e^(4πi/3)
= -1/3e^(πi/3)
= -e^(-πi/3)/3
= -{ (1-i√3)/2 }/3
= (i√3-1)/6
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No.71382 - 2020/12/08(Tue) 17:50:37 |
