[ 掲示板に戻る ]

記事No.71519に関するスレッドです

存在範囲 / kei
高校2年です。

実数x,yについて、-1≦x≦1,-1≦y≦1を満たすとき、点(3x+y,x^2+xy)の存在範囲を求めよ、という問題なのですが、

X=3x+y,Y=x^2+xyとおくと、
-1≦y≦1より-1≦X-3x≦1
∴(X-1)/3≦x≦(X+1)/3 …☆
また、-1≦x≦1 …☆☆
XとYの2式からyを消去して
Y=-2x^2+Xx

このあと、Xを固定してYをxの関数とみて☆および☆☆の下で値域を調べるか、xの2次方程式が☆および☆☆の下で実数解を持つ条件を調べる方向でよろしいでしょうか?

また、その際☆と☆☆の共通部分を(-4≦X≦4などにも注意して)求めてxの範囲を考えるので、煩雑な場合分けにつながっていくと思ってよいのでしょうか?

すみませんが、お教え下さい。よろしくお願いします。

No.71516 - 2020/12/17(Thu) 01:25:06

Re: 存在範囲 / らすかる
そのような方針でうまくいくのかどうかよくわかりませんので、自分なりの解答を書きます。

3x+y=uとおくと-4≦u≦4

x^2+xyの最大値
x^2+xy=-2x^2+ux=-2(x-u/4)^2+u^2/8 … (1)
x=u/4のときy=u-3x=u/4となり
-4≦u≦4から-1≦u/4≦1であり、uの値によらず
(x,y)=(u/4,u/4)の値をとれるので、
x^2+xyは(x,y)=(u/4,u/4)のとき最大値u^2/8をとる。

x^2+xyの最小値
-4≦u≦-2のときx<0なのでx^2+xyはyが最大のときに最小
yの最大値はx=-1のときのy=u+3なので、
x^2+xyは(x,y)=(-1,u+3)のとき最小値-u-2をとる。
-2≦u≦0のときxの取り得る範囲は(u-1)/3≦x≦(u+1)/3であり
|(u-1)/3-u/4|=1/3-u/12≧1/3+u/12=|(u+1)/3-u/4|なので
(1)からx=(u-1)/3のときx^2+xyが最小
よってx^2+xyは(x,y)=((u-1)/3,1)のとき最小値(u-1)(u+2)/9をとる。
0≦u≦2のときxの取り得る範囲は(u-1)/3≦x≦(u+1)/3であり
|(u-1)/3-u/4|=1/3-u/12≦1/3+u/12=|(u+1)/3-u/4|なので
(1)からx=(u+1)/3のときx^2+xyが最小
よってx^2+xyは(x,y)=((u+1)/3,-1)のとき最小値(u-2)(u+1)/9をとる。
2≦u≦4のときx>0なのでx^2+xyはyが最小のときに最小
yの最小値はx=1のときのy=u-3なので
x^2+xyは(x,y)=(1,u-3)のとき最小値u-2をとる。

よってまとめると
(3x+y,x^2+xy)=(X,Y)として
-4≦X≦-2のとき -X-2≦Y≦X^2/8
-2≦X≦0のとき (X-1)(X+2)/9≦Y≦X^2/8
0≦X≦2のとき (X-2)(X+1)/9≦Y≦X^2/8
2≦X≦4のとき X-2≦Y≦X^2/8
となり図は以下のとおり。

※図は曲線がわかりやすいように縦に伸ばしています。

No.71519 - 2020/12/17(Thu) 08:23:33

Re: 存在範囲 / IT
>このあと、Xを固定してYをxの関数とみて☆および☆☆の下で値域を調べるか、xの2次方程式が☆および☆☆の下で実数解を持つ条件を調べる方向でよろしいでしょうか?

私は、前者でやってみました。

>また、その際☆と☆☆の共通部分を(-4≦X≦4などにも注意して)求めてxの範囲を考えるので、煩雑な場合分けにつながっていくと思ってよいのでしょうか?

そんなに煩雑とは思いませんが、らすかるさんのグラフを見ても分かるように、どんな方法でもある程度の場合分けはやむを得ないのでは? そのため(的確に場合分けできるか試すため)に出題している向きもあります。

No.71535 - 2020/12/17(Thu) 22:00:49

Re: 存在範囲 / IT
(X,Y) が範囲に入るとき
 X=3x+y,Y=x^2+xy (-1≦x,y≦1)で、
 -X=3(-x)+(-y),Y=(-x)^2+(-x)(-y) (-1≦-x,-y≦1)ですから
 (-X,Y) も範囲に入ります。
したがって求める範囲はY軸について対称ですので、0≦X≦4のときを考えます。

Y=-2x^2+Xx=-2(x-X/4)^2+X^2/8=x(X-2x)=f(x) と置く。

-4≦X≦4なので(X-1)/3≦X/4≦(X+1)/3 かつ -1≦X/4≦1…(0)

「(X-1)/3≦x≦(X+1)/3 かつ -1≦x≦1」…(1)
(0)よりx=X/4は(1) を満たす。したがってYの最大値はX^2/8

(X+1)/3と1の大小により場合分けする。

(X+1)/3 ≦1 すなわち 0≦X≦2のとき
 (1)は、(X-1)/3≦x≦(X+1)/3
 Yの最小値はmin(f((X-1)/3),f((X+1)/3))=min((X-1)(X+2)/9,(X+1)(X-2)/9)=(X+1)(X-2)/9

(X+1)/3≧1 すなわち  2≦X≦4のとき
 (1)は、(X-1)/3≦x≦1
  Yの最小値はmin(f((X-1)/3),f(1))=min((X-1)(X+2)/9,X-2)=X-2

最小値と最大値の間の任意の値をとり得ることは、fの連続性からOKだと思います。

No.71536 - 2020/12/17(Thu) 22:28:22

Re: 存在範囲 / kei
らすかる様
IT様

いつも大変丁寧な解説をありがとうございます。とてもよく分かりました!

これまで表面的にしか学習してこなかったので、一つ一つの場合分けを面倒臭がらず、丁寧にこなしていくことを心がけていきたいです。

頑張ります。

No.71538 - 2020/12/17(Thu) 23:37:56