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記事No.71523に関するスレッドです
★ 二重積分について / ako
二重積分についてです。

以下の写真の二重積分を解いていただけないでしょうか・・・
貴重なお時間を頂きますが、よろしくお願いいたします。
No.71523 - 2020/12/17(Thu) 12:10:19
☆ Re: 二重積分について / X
t=-x+y
u=x+y
と置くとヤコビヤンJは
J=det[M{(-1/2,1/2),(1/2,1/2)}]=-1/2
で
D={(t,u)|0≦t≦u,0≦u≦1}
となるので
(与式)=(1/2)∫[t:0→1]∫[u:0→t]tue^{(1/2)(t^2+u^2)}dudt
=(1/2)∫[t:0→1]te^{(1/2)t^2}[e^{(1/2)u^2}][u:0→t]dt
=(1/2)∫[t:0→1]t{e^(t^2)-e^{(1/2)t^2}}dt
=(1/2)[(1/2)e^(t^2)-e^{(1/2)t^2}][t:0→1]
=(1/2){(1/2)e-√e+1/2}
=(1/4)e-(1/2)√e+1/4
No.71524 - 2020/12/17(Thu) 17:15:25
☆ Re: 二重積分について / ako
解答ありがとうございます。

1つ質問でヤコビアンJは、det{(-1,1),(1,1)}=-2になるとおもうのですが、なぜ-1/2になるのでしょうか。
あとヤコビアンのところにあるMはなんでしょうか
No.71526 - 2020/12/17(Thu) 18:03:32
☆ Re: 二重積分について / X
ヤコビヤンの中にある
M{(-1/2,1/2),(1/2,1/2)}
はこれで一まとめに行列を示しています。
Mは行列であることを表す頭文字です。

＞＞なぜ-1/2になるのでしょうか。
ヤコビヤンで計算すべきヤコビ行列を間違えています。
t=-x+y
u=x+y
から
x=(u-t)/2
y=(t+u)/2
ここからヤコビ行列を計算します。
解析学の教科書などで、xy座標を
極座標に変換するときのヤコビヤンの
復習をしましょう。
No.71542 - 2020/12/18(Fri) 04:21:58