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記事No.71547に関するスレッドです
★ 大学1年の問題です / ASI
3の(c)がどのように書けばいいのか分かりません。線の下は(a)(b)を解いた結果です。
お願いします。
No.71547 - 2020/12/18(Fri) 13:50:04
☆ Re: 大学1年の問題です / ast
質問者さんの (2) の計算が間違っている (おそらく被積分函数に分母があるのを忘れてる) から出ないだけですね. 本来なら (c) の指示の通りにするだけで (1) の積分がそのまま求める和の形そのものにちゃんと書き変わります.
No.71548 - 2020/12/18(Fri) 15:17:20
☆ Re: 大学1年の問題です / ASI
すみません、こうなりますでしょうか?


x=sin(y)
y:0→π/2

∫[0,π](sin(y))^(2n+1)dy
=B(n+1,1/2)
=√πn!/Γ(n+3/2)
=√πn!((n+1/2)(n-1/2)•••(1/2)Γ(1/2))^(-1)
=2^(n+1)n!/((2n+1)!!)
No.71554 - 2020/12/18(Fri) 22:24:23
☆ Re: 大学1年の問題です / ast
少し間が空いてしまった気がしますが, 当初の (c) に関する疑問は解決なさったでしょうか. 解決している場合は No.71544 に対する返答はもちろん無用かと思いますが, 解決していない場合でも (2) や (c) について今のところ付け加える必要がある点は特にないと考えています. 敢えて言うなら, なぜ No.71554 の最後の式を (b) の結果と揃えないのか, というくらいでしょうか.

あと, 直截の回答でない点で補足するとすれば, No.71544 で出てきた sin(y)^(2n+1) の積分は高校数学の範囲の知識でじゅうぶん解けます ( I_n:=∫[0,π/2]sin(θ)^(2n+1)dθ と置いて部分積分を複数回用いれば, 数列 {I_n} に関する漸化式が得られる). 大学一年生向けの問題ということであれば, 想定される解答はこちらを用いたものではないでしょうか.
# まあベータ函数やガンマ函数を抵抗なく使いこなせる方であれば, 手段を制限されるいわれもないとは思いますが.
No.71642 - 2020/12/22(Tue) 23:36:54