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記事No.71571に関するスレッドです
★ 存在範囲 / kei
高校２年です。

実数x,yについて、-1/2≦x≦1/2,-1/2≦y≦1/2を満たすとき、点(x^2+y^2,xy)の存在範囲を図示せよ、という問題なのですが、

u=x+y,v=xyとおくと、x,yは
t^2-ut+v=0
の-1/2≦t≦1/2の実数解であるから
f(t)=t^2-ut+vとおくと、

軸 -1/2≦u/2≦1/2
端点 f(-1/2)≧0
端点 f(1/2)≧0
判別式 u^2-4v≧0

よって、次の4式(☆とおく)
-1≦u≦1
v≧-u/2-1/4
v≧u/2-1/4
v≧u^2/4
が従う。

また、(X,Y)=(x^2+y^2,xy)とおくと、
X=u^2-2v,Y=xy ☆☆

ここまで考えてみたのですが、このあと上の☆の第4式に☆☆を代入して

Y≦X/2

まではよいのですが、☆の第1〜3式と☆☆をどう扱ってよいか困っています。

類題を探してみると点(x+y,x^2+y^2)の存在範囲のようなものはあったのですが、x+yがxyになっている問題は見つけられませんでした。

答えは分かっていません。

すみませんが、ご教授下さい。よろしくお願いします。




X=x^2+y^2,Y=xyとおき、
No.71539 - 2020/12/18(Fri) 00:19:52
☆ Re: 存在範囲 / kei
↑最後の行は無視して下さい。
申し訳ありません。
No.71540 - 2020/12/18(Fri) 00:20:41
☆ Re: 存在範囲 / X
＞＞↑最後の行は無視して下さい。
＞＞申し訳ありません。
レスを作る際にパスワードを設定しておけば
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で、本題の回答ですが☆☆でYの置き換えが中途半端です。
X=u^2-2v,Y=v
となるので
v=Y
u^2=X+2Y
これらを用いて☆からu,vを消去します。
No.71543 - 2020/12/18(Fri) 04:27:58
☆ Re: 存在範囲 / kei
X様

設定のご説明、ありがとうございます！

とても初歩的な質問で申し訳ないのですが、
u^2=X+2Yを用いてX,Yの関係式をつくるには、たとえば
-1≦u≦1のときはu^2が現れるように
0≦u^2≦1
∴0≦X+2Y≦1
としてよいのでしょうか？

また、
v≧-u/2-1/4
v≧u/2-1/4
でvはv=Yで消去できるのですが、uはu^2=X+2Yからu=±√(X+2Y)として
Y≧±(1/2)√(X+2Y)-1/4
☆の第4式からY≧0なので、結局
Y≧1/2√(X+2Y)-1/4
∴Y+1/4≧√(X+2Y)
∴X≦Y^2-(3/2)Y+1/16

これと☆の第4式からu,vを消去した
Y≧X/2

の共通範囲を考えたものが答えで合っているでしょうか？
パラメータを消去する計算過程に、初めて√出てきたので少し心配しています。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71550 - 2020/12/18(Fri) 19:39:50
☆ Re: 存在範囲 / IT
式の形から三角関数を使いたくなります。
（略解)
0≦X=x^2+y^2≦1/2
(X,Y) が範囲内のとき(X,-Y) も範囲内なので範囲はY軸対称。
0≦x≦1/2,0≦y≦1/2…(1)について調べてX軸に対称に拡げればよい。

0≦X≦1/4 のとき
　x=(√X)cosθ,y=(√X)sinθ,0≦θ≦π/2とおける。
　Y=xy=Xcosθsinθ=(X/2)sin(2θ)なので　0≦Y≦X/2

1/4≦X≦1/2 のとき
　x=(√X)cosθ,y=(√X)sinθ,0≦θ≦π/2　の一部分（グラフを描くと分かり安い）で、
　x=1/2,y=√(X-x^2)= √(X-1/4) のとき　Yは最小値(1/2)√(X-1/4) をとり、
　最大値は0≦X≦1/4 のときと同様にX/2なので
　(1/2)√(X-1/4)≦Y≦X/2

これをX軸対称に拡げる。 （対称性を使わずにやってもそんなに煩雑でないかも知れません。）
No.71558 - 2020/12/19(Sat) 08:16:03
☆ Re: 存在範囲 / kei
IT様

ご回答ありがとうございます。
いくつがご質問をお願いできますか？

まず、Xの値で場合分けが生じるのはなぜでしょうか？初歩的な質問で申し訳ありません。

y^2=X-x^2≧0より(0≦)x^2≦X
また、0≦x^2≦1/4
なので、X≦1/4とX≧1/4で分けていると思ってよろしいですか？

また、場合分けをした後、後者の場合で、
x=(√X)cosθ,y=(√X)sinθ,0≦θ≦π/2の一部分となるのは、前者の場合と何が違うか分かりませんでした。申し訳ありません。

基本的なことが分かっておらず、理解できなくて反省しています。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71568 - 2020/12/19(Sat) 17:20:07
☆ Re: 存在範囲 / IT
図（グラフ）を描くと分かり安いかも知れません。
赤い円の一部が何を表しているか式は書いてないですが
見ればわかると思います。
No.71571 - 2020/12/19(Sat) 17:53:32
☆ Re: 存在範囲 / kei
IT様

ずっと考え込んでいたことが「なるほど！」とすっきり解決致しました。
(0≦x≦1/2,0≦y/1/2において半径√Xの円を考えていたことが、頭の中でうまく整理(把握)できていませんでした)

いつも本当にありがとうございます。とても感謝しています！そして、よく復習しておきます！
No.71574 - 2020/12/19(Sat) 19:32:41