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記事No.71597に関するスレッドです
★ 三角関数 / kei
高校2年です。

f(x)=(3+2cosx)/√(2+cos2x) (0≦x≦π)
の取り得る値の範囲を求めよ、という問題なのですが、文系の範囲で微分を用いずに解くにはどうすればよろしいのかお教え下さい。

答えは√3/3≦f(x)≦√11となっています。

よろしくお願い致します。
No.71592 - 2020/12/20(Sun) 22:42:57
☆ Re: 三角関数 / らすかる
2+cos2x=2+2(cosx)^2-1=2(cosx)^2+1
0≦x≦πで-1≦cosx≦1なので、cosx=tとおけば
-1≦t≦1でg(t)=(3+2t)/√(2t^2+1)が取り得る値の範囲を求めることになります。
(g(t))^2=(3+2t)^2/(2t^2+1)=2+(12t+7)/(2t^2+1)
h(t)=(2t^2+1)/(12t+7)　（t≠-7/12）とすると
h(t)=(1/6)t-7/72+121/{72(12t+7)}
=(1/72){(12t+7)-14+121/(12t+7)}
h(t)＞0のときの最小値とh(t)＜0のときの最大値を求めます。

h(t)＞0のとき、つまり12t+7＞0すなわち-7/12＜t≦1のとき
(12t+7)+121/(12t+7)≧2√121=22
（等号は12t+7=121/(12t+7)すなわちt=1/3のとき）
なので、h(t)はt=1/3のときに最小値h(1/3)=1/9をとります。

h(t)＜0のとき、つまり12t+7＜0すなわち-1≦t＜-7/12のときは
(12t+7)+121/(12t+7)
=-{-(12t+7)-121/(12t+7)}≦-2√121=-22
（等号は-(12t+7)=-121/(12t+7)すなわちt=-3/2のとき）
となりますが、t=-3/2は-1≦t＜-7/12の範囲外なので
-3/2に近いt=-1のときに最大値をとると考えられます。
実際、-1＜t＜-7/12のとき
h(-1)-h(t)=2(t+1)(5t+13)/{-5(12t+7)}＞0
となりますので、確かにt=-1のときに最大値h(-1)=-3/5をとります。

よってh(t)は正の最小値が1/9、負の最大値が-3/5ですから、
1/h(t)=(12t+7)/(2t^2+1)は正の最大値が9、負の最小値が-5/3となります。
従って(g(t))^2=2+(12t+7)/(2t^2+1)は
最大値が2+9=11、最小値が2-5/3=1/3となりますので、
g(t)は最大値が√11、最小値が√(1/3)=√3/3となり（∵g(t)＞0）、
f(x)は連続関数ですから
f(x)のとる値の範囲は√3/3≦f(x)≦√11となります。
No.71595 - 2020/12/20(Sun) 23:51:32
☆ Re: 三角関数 / mathmouth
別解です.
らすかるさんと着目した部分は同じで、私は逆像法で考えて処理しています.
No.71597 - 2020/12/20(Sun) 23:56:24
☆ Re: 三角関数 / kei
らすかる様
mathmouth様

とても丁寧な解説、どうもありがとうございます！
しっかり復習して、きちんと解けるように頑張ります！
No.71602 - 2020/12/21(Mon) 00:39:42