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記事No.71623に関するスレッドです
★ ラグランジュの定理？ / meow
群論についてです．
HはGL(n,R)の部分群であるのは容易に示すことができたのですが，
(GL_n(R):H)をどのように求めるのかわかりません．
いままで(Z_12:<4>)などでは考えてきていたのですが，行列になった途端どのようにすれば良いのか全くわかりません．
教えていただきたいです．よろしくお願いいたします．
No.71623 - 2020/12/22(Tue) 03:22:35
☆ Re: ラグランジュの定理？ / IT
行列の積の行列式は、行列式の積であること
　det(AB)＝det(A)det(B) ,
　det(A)≠0のとき　det(A^-1)=1/det(A)
　
と（G：H）の定義に戻れば、容易では？

群Gとその部分群Hについて（G：H）は、何を表しますか？
No.71624 - 2020/12/22(Tue) 04:41:54
☆ Re: ラグランジュの定理？ / meow
ITさんありがとうございます．

(G:H)はHの左剰余類の濃度を示していると思います．
ただ，GL(n,R)もHも非加算無限集合なのでラグランジュの定理は使えないのではないかとも思ってきました．
H'として
H'={A ∈ GL(n,R) | det(A)<0}とすれば，
GL(n,R)=H ∪ H'
となるので，
(GL(n,R) : H) = 2
これは考え方的にどうなのでしょうか．
よろしくお願いいたします．
No.71650 - 2020/12/23(Wed) 02:43:50
☆ Re: ラグランジュの定理？ / IT
>ただ，GL(n,R)もHも非加算無限集合なのでラグランジュの定理は使えないのではないかとも思ってきました．

そうですね。ラグランジュの定理を使っても求められませんね。

>GL(n,R)=H ∪ H'
>となるので，
>(GL(n,R) : H) = 2
>これは考え方的にどうなのでしょうか．

単にGL(n,R)=H ∪ H'は、当然ですね。これだけでは(GL(n,R) : H) = 2はいえないと思います。
Hの左剰余類としてどうなるかを示す必要があります。
（H'がHとは異なる一つの左剰余類になるかどうか）
No.71654 - 2020/12/23(Wed) 07:27:49
☆ Re: ラグランジュの定理？ / meow
ITさん返信ありがとうございます．
なるほどです．
H'=AHを示せば良いと言うことですね．
ありがとうございます．
No.71671 - 2020/12/23(Wed) 21:54:36