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記事No.71847に関するスレッドです
★ 受験生 / ゆう
質問お願いいたします。
この問題z軸で切った場合の解き方は
分かるのですが、x軸.y軸で切った場合の　
解き方が分かりません。
よろしくお願いします。
No.71832 - 2021/01/01(Fri) 16:03:00
☆ Re: 受験生 / IT
ｘ軸に垂直な平面で切る。ということでしょうか？

できないことはないと思いますが、計算が面倒だと思うので
回転軸（ｚ軸）に垂直な平面で切って考えれば良いのでは？
No.71833 - 2021/01/01(Fri) 16:57:48
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
私の計算では 179π/3 になるのですが… ??
No.71834 - 2021/01/01(Fri) 20:18:01
☆ Re: 受験生 / X
＞＞関数電卓さんへ
私の計算では添付写真通り
176π/3
となりました。

求める体積をVとすると
V=5・(5^2)π-1・(3^2)π-π∫[1→5]{(-z+1)^2+3^2}dz
=116π-π[(1/3)(z-1)^3+9z][1→5]
=116π-π(64/3+36)
=80π-64π/3
=176π/3
No.71835 - 2021/01/01(Fri) 21:53:38
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
私は，以下のように計算しました。
所要の回転体の体積は，下右図の

　正方形 OBCG を回転させた円柱（体積 125π）
から
　台形 FECG を回転させた円錐台（体積 (1/3)25π･10{1−(3/5)^3}＝196π/3）
を除いたもの
よって，
　(125−196/3)π＝179π/3
No.71836 - 2021/01/01(Fri) 23:17:52
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
すみません。私には X さんの V を求める式の第２項と第３項の根拠が分かりません。
No.71837 - 2021/01/01(Fri) 23:37:57
☆ Re: 受験生 / X
＞＞関数電卓さんへ
私はNo.71836の添付写真右側の図でいうと
台形BCEDを断面とした回転体の体積として
計算しました。

問題の立体の
0≦z≦1
の範囲の部分は
底面が半径5の円柱
から
底面が半径3の円柱
を取り除いた立体
になるのでは？
No.71839 - 2021/01/01(Fri) 23:59:43
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
あれ？！？ その通りですね。大変失礼致しました。
でも，そうすると体積は
　179π/3−9π＝152π/3
となりますね。
No.71840 - 2021/01/02(Sat) 00:10:42
☆ Re: 受験生 / らすかる
＞関数電卓さん

71836の図で左側の直線ECが右の図でも直線になっていますが、そこが正しくありません。
右図のEの(3,1)とCの(5,5)はよいとして、
例えばCEの中点をM(-2,3,4)とすると
OM=√(3^2+2^2)=√13ですから
右図ではM(√13,4)となり、右図のCEの中点(4,4)より少し左になります。
よって右図のCEは少し左に膨らんだ曲線(z=√(r^2-9)+1)になりますので、
「円錐台」では求められません。
No.71842 - 2021/01/02(Sat) 01:31:44
☆ Re: 受験生 / ゆう
やはり難しいのですね、自分で考えても
全くわからなく苦戦しておりました。
返答ありがとうございます。！
No.71844 - 2021/01/02(Sat) 02:18:20
☆ Re: 受験生 / らすかる
x軸で切った場合の計算

外側は x^2+y^2=25
内側は
0≦z≦1: x^2+y^2=9
1≦z≦5: x^2+y^2=(z-1)^2+9
となりますので、x≧0かつy≧0の部分だけ考えるとして、
x=tのときの断面は
外側は y=√(25-t^2)
内側は
0≦z≦1の場合
0≦t≦3では y=√(9-t^2)
3＜t≦5では なし
1≦z≦5の場合
z=√(y^2+t^2-9)+1　（ただしt＜3ではy≧√(9-t^2)）
となります。
よってy≧0の部分の断面積は
0≦t≦3のとき
√(25-t^2)-√(9-t^2)+∫[√(9-t^2)〜√(25-t^2)]√(y^2+t^2-9)+1dy
=3√(25-t^2)-√(9-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(9-t^2)}
3≦t≦5のとき
√(25-t^2)+∫[0〜√(25-t^2)]√(y^2+t^2-9)+1dy
=3√(25-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(t^2-9)}
となりますので、回転体の体積は
∫[0〜3]3√(25-t^2)-√(9-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(9-t^2)}dt
+∫[3〜5]3√(25-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(t^2-9)}dt
={(75/2)arctan(3/4)+18}-{(9/4)π}+{9log(3/5)-(11/3)arctan(3/4)-4}
+{(75/4)π-(75/2)arctan(3/4)-18}+{9log(5/3)-(11/6)π+(11/3)arctan(3/4)+4}
=(44/3)π
の4倍の(176/3)πとなります。

# 積分にはWolframAlphaを使いましたが、少し複雑になると定積分の値は
# 求めてくれませんので、例えば
# ∫(t^2-9)log(4+√(25-t^2))dt=
# -t^3/18-(1/3)t√(25-t^2)-(9/2)tlog(√(25-t^2)+4)
# +(9/2)log(4√(25-t^2)-3t+25)-(9/2)log(4√(25-t^2)+3t+25)
# +(t^3/6)log(√(25-t^2)+4)+3t-(11/3)arcsin(t/5)+C
# のような不定積分だけ求めて手作業でtに値を代入して整理したりしました。
# （これはごく一部の計算です）
# WolframAlphaを使ってもかなり面倒でしたので、これを全部
# 手作業でやるのは気が遠くなります。
# このように、回転体を回転軸に垂直でない平面で切ると
# とんでもなく面倒になって時間を浪費しますので、
# そういうことはあまり考えない方が良いと思います。
# （この問題はたまたま求められましたが、一般には
# 　積分不可能で求められない可能性もあります）
No.71845 - 2021/01/02(Sat) 05:50:49
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
何ともお粗末なレスを書いてしまい，お恥ずかしい限りです。
3D の図を描いていたときには「一葉双曲面になりそうだ」という思いが一時はあったのですが，その後飛んでしまっていました。
図を修正しました。
No.71847 - 2021/01/02(Sat) 12:05:49