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記事No.71986に関するスレッドです
★ 図形 / kinako
凸三角形abcdにおいて
ab・ｃｄ＋ad・ｂｃ≧ac・ｂｄ
が成り立つ。（四つの内角はすべて１８０度より小さい）
角bad内に角abe＝角acd 角abe=角acdとなるeをとる。
等号成立の必要十分条件と十分条件をこたえよ。

be＋ed=bd
になればよいそうなのですが、どうしてなんでしょうか…
No.71962 - 2021/01/07(Thu) 15:51:37
☆ Re: 図形 / mathmouth
トレミーの定理ですね.
図を描くのが面倒なので説明は添付写真をご覧ください.

必要十分条件について

三角形の相似性を用いると四角形において
AB・CD+AD・BC=AC(BE+ED)が成立し、BE+ED≧BD(∵折れ線より線分の方が短い
一般には三角不等式と呼ばれています)
からトレミーの定理が導かれます.
したがって、等号成立するための必要十分条件は
BE+ED=BEとなります.

なお、
BE+ED=BD
⇔3点B,E,Dがこの順に一直線上にあり
⇔∠ABD=∠ABE
⇔∠ABD=∠ACD
⇔4点A,B,C,Dが同一円周上にある(∵円周角の定理及びその逆)
⇔四角形ABCD が円に内接する
と換言できます.

2つ目の「十分条件を答えよ」は愚問なのでおそらく「十分条件でありかつ必要条件でないものを与えられた選択肢から選べ」という問でしょう.

上で求めた必要十分条件を満たすがそれと同値ではない特殊な状況を選択すればOKです.
No.71986 - 2021/01/09(Sat) 09:01:04