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記事No.7202に関するスレッドです

接線 / aki
こんにちは。
いつもありがとうございます。
質問お願いします。

nは自然数
xy平面上の原点から曲線Cn y=1/(1−x)^n ただしx<1 にひいた接線がCnと接する点のx座標をanとおく
曲線Cnとx軸およひx=0とx=anで囲まれた図形の面積をSnとする
(1)anを求めよ
(2)lim(n→∞)Sn/anを求めよ

(1)ですが、まず計算自体は問題なくできたんですが、イメージができなくて、y=1/(1−x)^nのグラフはどんなグラフなんでしょうか?y=1/xを下にずらして(x、y)が(0、1)(1、0)を通るようにしたグラフでいいのでしょうか?
そうすると原点からどういう接線が引かれるのかわかりませんでした。

どなたか教えて下さい。

No.7073 - 2009/08/01(Sat) 17:27:30

Re: 接線 / aki
あと(3)ですが
計算すると
http://p.upup.be/?ZGKJJzYMSl
となりました。
0になってしまいますが、答えはe−1らしいです。
Snとan自体は答えがあっていました。

どなたか教えて下さい。

No.7074 - 2009/08/01(Sat) 17:34:49

Re: 接線 / angel
うーん。
e の定義
 lim[n→∞] (1+1/n)^n = e
を思い出してください、ですかね…。

後、S[n]= 1/(n-1)・( (1+1/n)^(n-1) - 1 ) は問題ないでしょうか?
(3)の計算を見ていると、^(n-1) の部分が ^(1-n) になっているようですが…。

No.7097 - 2009/08/02(Sun) 01:30:30

Re: 接線 / aki
本当ですね微妙に違っていました…
eの定義を使ってできました。ちょっとしんどかったです。

ちなみに最初の質問なんですがグラフと接線の図はどのようになるのでしょうか。

No.7104 - 2009/08/02(Sun) 15:04:21

Re: 接線 / angel
> ちなみに最初の質問なんですがグラフと接線の図はどのようになるのでしょうか。

んー。ご自分で派生問題を見つけられたのですから、解いて実力をつける良いチャンスだと思いますがね。
「y=1/(1-x)^n の増減、凹凸および漸近線を示し、グラフの概形を描きなさい」
というような問題で、実際にもありそうですよね。
グラフを描いてみれば、接線がどうなるのかも見て分かりますし。

まあ、グラフの画像を載せるのは ( 私にとっては ) 簡単なので、リクエストがあれば載せても構いませんが。

No.7125 - 2009/08/02(Sun) 23:50:29

Re: 接線 / aki
まずグラフを考えてみると、y'=n/(1−x)^(n+1)で単調増加

x=0でy=1

y=0となることはない?

まで考えたのですが、limitを考えようとしてもnの値によりlimitは値が変わってしまうような気がして、そこからよくわからなくなってしまいました。

この後のグラフの解説とグラフの図を載せて下さると嬉しいです。

No.7192 - 2009/08/05(Wed) 20:47:20

Re: 接線 / angel
nが変わっても、グラフの性質はあまり変わらないので、まとめていきます。
・増減
 y'=n/(1-x)^(n+1) で常にy'>0のため単調増加
・凹凸
 y''=n(n+1)/(1-x)^(n+2) で常にy''>0のため下に凸
・漸近線
 lim[x→-∞] y = 0 のため、y=0 (x軸) が漸近線
 また、lim[x→1-0] y = +∞ のため、x=1 が漸近線

なお、x<1 の範囲で考えているので、グラフもx<1 の部分を載せています。

No.7202 - 2009/08/06(Thu) 00:59:27

Re: 接線 / aki
わかりました、理解できました。
図までつけてくださりどうもありがとうございました>_<)

No.7209 - 2009/08/06(Thu) 10:24:17