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記事No.72070に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ ぴと
引用
2番がわかりません。
教えてくださいお願いします泣
No.72070 - 2021/01/12(Tue) 23:14:30
☆
Re:
/ X
引用
問題の直円錐の底面の円の半径をx、高さをhとすると
V=(1/3)πhx^2 (A)
一方円錐の表面積をSとすると
S=πx^2+(πh^2)(x/h)
=πx^2+πhx (B)
(A)より
h=3V/(πx^2)
これを(A)に代入し
S=πx^2+3V/x
後は0＜xにおけるSの増減表を書きます。
No.72082 - 2021/01/13(Wed) 05:56:27
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
X さん
側面(というのか？）の面積の方は、
π×(底面の半径)×(母線の長さ)
なので、ｘとｈとで母線を表さないといけないのでは？
かくいう私も、解き切れていません。
No.72083 - 2021/01/13(Wed) 06:18:28
☆
Re:
/ X
引用
＞＞ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞ぴとさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
改めてアップします。
問題の直円錐の底面の円の半径をx、高さをhとすると
V=(1/3)πhx^2 (A)
一方、円錐の表面積をS、側面の母線の長さをl
とすると
S=πx^2+(πl^2)(x/l)
=πx^2+πlx (B)
l=√(x^2+h^2) (C)
(B)に(C)を代入して
S=πx^2+πx√(x^2+h^2) (B)'
一方、(A)より
πx^2=3V/h
これと(B)'から
S=πx^2+(πx^2)√{1+(h/x)^2}
=3V/h+(3V/h)√{1+{π/(3V)}h^3} (B)"
このままhに対するSの増減を考えてもよいのですが
計算が面倒なので変数を置き換えます。
3V/h=u
と置くと
3V/u=h
で(B)"は
S=u+u√{1+(9πV^2)/u^3} (B)"'
∴dS/du=1+√{1+(9πV^2)/u^3}-(3/2){(9πV^2)/u^3}/√{1+(9πV^2)/u^3}
=1+{1-(1/2)(9πV^2)/u^3}/√{1+(9πV^2)/u^3}
となるので、
dS/du=0
のとき
{1-(1/2)(9πV^2)/u^3}^2=1+(9πV^2)/u^3 (D)
1＜(9πV^2)/u^3 (E)
(D)より
{u^3-(1/2)9πV^2}^2=u^6+(9πV^2)u^3
(18πV^2)u^3=(81/4)(π^2)V^4
u^3=(9/8)πV^2 (D)'
これは(E)を満たします。
(D)'のとき、(B)"'は
S=4u (∵)√の中のu^3を消去します。
=4{(9/8)πV^2}^(1/3)
=(72πV^2)^(1/3)
ここで
lim[u→+0]S=∞
lim[u→∞]S=∞
で0＜uにおいて(B)"'は連続ですので
(D)'のときSは極小、つまり最小となり
命題は成立します。
注1)
始めは(A)を使って(B)'からhを消去する方針でしたが
それだとxの次数が上がって計算が煩雑なため
xを消去してみました。
注2)
(A)の下での(B)'の条件付き極値問題として
ラグランジュの未定乗数法を使う方針も
考えましたが、極値を与える独立変数についての
連立方程式を解く段階で挫折しました。
No.72095 - 2021/01/13(Wed) 18:04:25
