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記事No.72190に関するスレッドです
★ 円と放物線の関係について / 寝屋川のムウマ
放物線y=nx^2と2つの共有点を持つr4000もしくは3000の円について教えてください。
放物線は原点を通り、y軸に対象です。円もy軸に対象ですが、中心が原点ではないです。
以下の図のようになるとき、円の方程式、それから共有点を教えてください。
No.72190 - 2021/01/18(Mon) 18:59:06
☆ Re: 円と放物線の関係について / ヨッシー
円の中心を　(0, a) 、半径をｂとすると、
円の方程式は　x^2＋(y-a)^2＝b^2
これを、ｙ＝ｎｘ^2 に代入して、
　ｙ＝n{−(y-a)^2＋b^2}
ｂには4000 または 3000 が入ります。
これはｙについての２次方程式であり、ｙが重解を持つときのａが、放物線と円が接するときの円の半径となります。
No.72192 - 2021/01/18(Mon) 19:25:26
☆ Re: 円と放物線の関係について / らすかる
x^2+(y-t)^2=r^2,y=nx^2からyを消去して整理すると
n^2x^4+(1-2nt)x^2+t^2-r^2=0
2点で接するためには(判別式)=0かつ(軸)＞0なので
t=(4n^2r^2+1)/(4n)かつn＞1/(2r)
このときx^2=(4n^2r^2-1)/(4n^2)となるので
2接点は(±√(4n^2r^2-1)/(2n),(4n^2r^2-1)/(4n))
従って
y=nx^2とr=4000の円の2接点は
(±√(64000000n^2-1)/(2n),(64000000n^2-1)/(4n))で
円の中心は(0,(64000000n^2+1)/(4n))
（ただしn＞1/8000）
y=nx^2とr=3000の円の2接点は
(±√(36000000n^2-1)/(2n),(36000000n^2-1)/(4n))で
円の中心は(0,(36000000n^2+1)/(4n))
（ただしn＞1/6000）

> ヨッシーさん
xを消すと、yが重解を持っても接しないことがあるのでは？
(nが小さく2点で接することが不可能な場合)
No.72194 - 2021/01/18(Mon) 19:44:48