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記事No.72332に関するスレッドです
★
数lll
/ たろう
引用
よろしくお願いします
No.72332 - 2021/01/24(Sun) 13:05:55
☆
Re: 数lll
/ X
引用
(1)
問題の楕円の方程式から
y^2=b^2-(bx/a)^2
∴y≧0のとき
y=(b/a)√(a^2-x^2)
問題の楕円はx,y軸に関して対称ですので
求める面積をUとすると
U=4∫[0→a](b/a)√(a^2-x^2)dx
=4(b/a)∫[0→a]√(a^2-x^2)dx
=4(b/a)・(半径aの円の面積)/4
=(b/a)・πa^2
=πab
(2)
条件から直線ABの方程式は
x/2+y/2=1
∴y=-x+2
これをEの方程式に代入して
(1/a^2)(x-a)^2+(1/b^2)(-x+2-b)^2=1
これより
(b^2)(x-a)^2+(a^2)(x-2+b)^2=(ab)^2
(a^2+b^2)x^2-2{ab^2-(b-2)a^2}x+{(b-2)a}^2=0 (A)
(A)の解の判別式をDとすると
条件から(A)は重解を持つので
D/4={ab^2-(b-2)a^2}^2-(a^2+b^2){(b-2)a}^2=0
これより
(a^2){{b^2-(b-2)a}^2-(a^2+b^2)(b-2)^2}=0
a≠0ゆえ
{b^2-(b-2)a}^2-(a^2+b^2)(b-2)^2=0
b^4-2(b-2)ab^2-{b(b-2)}^2=0
{b^2-2(b-2)a-(b-2)^2}b^2=0
b≠0ゆえ
b^2-2(b-2)a-(b-2)^2=0
-2ab+4a+4b-4=0
∴求める条件は
ab-2(a+b)+2=0
(3)
条件からEは(1)の楕円を平行移動したものなので
Sは(1)の結果に等しく
S=πab
これと(2)の結果から
ab=S/π
a+b=S/(2π)+1
∴a,bはtの二次方程式
t^2-{S/(2π)+1}t+S/π=0 (B)
の二つの解となるので、(B)の
解の判別式をD[2]とすると
D[2]={S/(2π)+1}^2-4S/π≧0 (C)
更に条件から
S＜(△OABの面積)=2 (D)
(C)(D)をSについての
連立不等式として解き
S≦(6-4√2)π (E)
ここでEはその存在条件である
ab≠0
を満たしていれば、a,bの値に依らず
x,y軸のいずれにも接することに
注意します。
さて
(D)の等号成立のとき
t^2-2(2-√2)t+(6-4√2)=0
∴t=2-√2
となるので
a=b=2-√2
∴Eの中心は△OABの内部
となっており、条件を満たします。
よって求めるSの最大値は(6-4√2)π
このときa=b=2-√2
No.72382 - 2021/01/26(Tue) 05:09:55
