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記事No.72334に関するスレッドです
★ 数ll / たろう
よろしくお願いいたします
No.72334 - 2021/01/24(Sun) 13:08:22
☆ Re: 数ll / X
(1)
条件から求める方程式は
(x+1)^2+(y-4)^2-8+k(y-x-2)=0 (A)
(kは定数)
と置くことができます。
ここで(A)は点(-2,3)を通るので
(-2+1)^2+(3-4)^2-8+k(3+2-2)=0
これより
k=2
∴(A)は
(x+1)^2+(y-4)^2-8+2(y-x-2)=0
これを整理して求める方程式は
x^2+(y-3)^2=4

(2)
Cの中心をC'とすると(1)の結果から
C'(0,3)
∴直線PC'の方程式は
3x+t(y-3)=0 (B)
条件から
PC'⊥QR
ですので直線QRの方程式は
-tx+3y=k (C)
と置くことができます。

さて、(1)の結果により
C'Q=C'R=(Cの半径)=2
又、
C'P=√(t^2+9)
∴△C'QPにおいて三平方の定理により
PQ=√(t^2+5)
ここで対称性により
直線PC'と直線QRの交点が
(3)の点M
であることに注意すると
△C'QP∽△MQP
により、
C'P:PQ=PQ:MP
∴√(t^2+9):√(t^2+5)=√(t^2+5):MP
∴MP=(t^2+5)/√(t^2+9)
これが点Pと直線QRとの間の距離
となっているので、点と直線との間の
距離の公式により
|-t^2-k|/√(t^2+9)=(t^2+5)/√(t^2+9)
これより
k=5,-2t^2-5
(C)に代入して
-tx+3y=5,-2t^2-5
この二本の直線のうち、y軸との交点が
Cの内部にあるものが、直線QRと
なります。
ということで、求める方程式は
-tx+3y=5 (C)'

(3)
点Mの座標は(B)(C)'をx,yの連立方程式
とした解となっていますので、
(B)(C)'からtを消去すること考えます。

(B)は(x,y)=(0,3)のとき成立しますが
(C)'では成立しないので
y≠3
∴(B)より
t=-3x/(y-3)
これを(C)'に代入して
(3x^2)/(y-3)+3y=5
整理をして
x^2+(y-7/3)^2=4/9

よって求める軌跡は
円x^2+(y-7/3)^2=4/9
(但し、点(0,3)を除く)
No.72347 - 2021/01/24(Sun) 20:03:11