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記事No.72473に関するスレッドです
★
大学数学の質問
/ シノビー
引用
自力でやってみたのですが、全然わからないです。
解き方と答えを教えてほしいです。
No.72473 - 2021/01/29(Fri) 18:38:21
☆
Re: 大学数学の質問
/ X
引用
条件から
∂x/∂u=x
∂y/∂u=y
∂x/∂v=-y
∂y/∂v=x
∴∂z/∂u=(∂x/∂u)(∂z/∂x)+(∂y/∂u)(∂z/∂y)
=x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y) (A)
∂z/∂v=(∂x/∂v)(∂z/∂x)+(∂y/∂v)(∂z/∂y)
=-y(∂z/∂x)+x(∂z/∂y) (B)
(A)より
(∂^2)z/∂u^2=(∂/∂u){x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)}
=(∂x/∂u)(∂z/∂x)+x(∂/∂u)(∂z/∂x)
+(∂y/∂u)(∂z/∂y)+y(∂/∂u)(∂z/∂y)
=x(∂z/∂x)+x{(∂x/∂u)((∂^2)z/∂x^2)+(∂y/∂u)((∂^2)z/(∂x∂y))
+y(∂z/∂y)+y{(∂x/∂u)((∂^2)z/(∂x∂y))+(∂y/∂u)((∂^2)z/∂y^2)
=x(∂z/∂x)+x{x((∂^2)z/∂x^2)+y((∂^2)z/(∂x∂y))}
+y(∂z/∂y)+y{x((∂^2)z/(∂x∂y))+y((∂^2)z/∂y^2)}
=x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)
+(x^2)((∂^2)z/∂x^2)+2xy((∂^2)z/(∂x∂y)+(y^2)((∂^2)z/∂y^2)
つまり
(∂^2)z/∂u^2=x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)
+(x^2)((∂^2)z/∂x^2)+2xy((∂^2)z/(∂x∂y)+(y^2)((∂^2)z/∂y^2) (A)'
(B)より
(∂^2)z/∂v^2=(∂/∂v){-y(∂z/∂x)+x(∂z/∂y)}
=-(∂y/∂v)(∂z/∂x)-y(∂/∂v)(∂z/∂x)
+(∂x/∂v)(∂z/∂y)+x(∂/∂v)(∂z/∂y)
=-x(∂z/∂x)-y{(∂x/∂v)((∂^2)z/∂x^2)+(∂y/∂v)((∂^2)z/∂x∂y)}
-y(∂z/∂y)+x{(∂x/∂v)((∂^2)z/(∂x∂y))+(∂y/∂v)((∂^2)z/∂y^2)}
=-x(∂z/∂x)-y{-y((∂^2)z/∂x^2)+x((∂^2)z/(∂x∂y)}
-y(∂z/∂y)+x{-y((∂^2)z/(∂x∂y))+x((∂^2)z/∂y^2)}
=-x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)
+(y^2)((∂^2)z/∂x^2)-2xy((∂^2)z/(∂x∂y))+(x^2)((∂^2)z/∂y^2)
つまり
(∂^2)z/∂v^2=-x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)
+(y^2)((∂^2)z/∂x^2)-2xy((∂^2)z/(∂x∂y))+(x^2)((∂^2)z/∂y^2) (B)'
(A)'+(B)'より証明すべき等式を得ます。
No.72475 - 2021/01/29(Fri) 19:26:08
