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記事No.72488に関するスレッドです
★ 群論について / meow
この問題なのですが，
どのようにして部分群だということを言えば良いのでしょうか？
Hがどのような集合かは理解できていると思います．
kを動かさない集合であると思っています．
例えば3次対称群で，k=2であれば，
{e,(1 3)}
であると思います．

n次で考えた場合どのようになるかご教授いただけないでしょうか？
No.72488 - 2021/01/30(Sat) 03:39:40
☆ Re: 群論について / IT
Ｈの元を網羅的に表す（外延的記法）必要はありません。
当たり前のことですが、群であることを示せばいいです。

何と何を示せばいいかは分かりますか？
（結合法則は、示さなくてもいいと思います）
No.72494 - 2021/01/30(Sat) 07:43:02
☆ Re: 群論について / meow
> 群であることを示す．
群の公理でしょうか？
それならば結合則，単位元，逆元の存在のことを指していると思います．
ここでいう単位元というのは恒等写像のことかと思います．
kを動かさない集合ということなのeはかならず存在しているといえそうですね．
逆元については，
kを含まない互いな素な巡回置換の積としてあらわすことができることから，逆元は存在していると思います．

これらを用いて部分群の証明を行えばよいのでしょうか？
たとえば，
A,B ={σ∈Sn |σ(k)=k}とし
A・BとA^{-1}が閉じているということを言えれば良いのですよね？

A・BとA^{-1}においてkが動かないのは，明らかだと思うのですが．
No.72500 - 2021/01/30(Sat) 14:54:45
☆ Re: 群論について / meow
ITさん
回答ありがとうございます．
No.72501 - 2021/01/30(Sat) 14:55:18
☆ Re: 群論について / meow
連投すみません．
あと(2）についてですが，3>=nだと，対称群は可換でないことから，世紀部分群ではないことを証明すれば良いでしょうか．
No.72502 - 2021/01/30(Sat) 14:56:42
☆ Re: 群論について / IT
3>=nのとき対称群は可換でないことだけからは
その部分群が正規部分群でないと証明できないと思います。
具体的に正規性に反する事例を示せばよいと思います。

正規部分群とはどんな部分群か　書いてみてください。
No.72504 - 2021/01/30(Sat) 15:55:06
☆ Re: 群論について / meow
ITさん回答ありがとうございます．
HをGの部分群としたとき，
Gのどのような元gに対しても
gH=Hg
が成り立つことだと思います．
ご指摘のように集合としてみているので，可換でなくても，正規部分群になることはありえるということですね．

先ほどの3次対称群の例(k=2)だと，
{(1 3),e}は部分群になると思いますが，
(1 2 3){(1 3),e}≠{(1 3),e}(1 2 3)
となるので正規部分群ではないということで良いでしょうか．(反例)

何度も質問申し訳ありません．
No.72508 - 2021/01/30(Sat) 17:14:35
☆ Re: 群論について / IT
(1 2 3){(1 3),e}≠{(1 3),e}(1 2 3)
となることを示さないといけないと思います。
No.72510 - 2021/01/30(Sat) 17:29:26
☆ Re: 群論について / meow
(1 2 3)(1 3)=(2 3)
(1 3)(1 2 3)=(1 2)
eは恒等写像なので
(1 2 3)e=(1 2 3)
e(1 2 3)=(1 2 3)
よって
{(2,3),(1 2 3)}≠{(1,2),(1 2 3)}

このような感じでしょうか．
手取り足取り申し訳ないです．
ご指摘あればいただきたいです．
No.72511 - 2021/01/30(Sat) 17:38:04
☆ Re: 群論について / IT
証明としての書きぶりを整えれば、n＝３の場合はそれでいいと思いますが、

一般のｎ＞２について示すには、Hのすべての元について調べるのは無理なので、

Snのある元a,Hのある元h について、aha^-1がHの元でないことを示せばよいと思います。
No.72512 - 2021/01/30(Sat) 17:49:12