写真の問題についてですが，
lim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)|
が存在して有限ということについて質問なのですが，
そもそも(a,b]において常にa<xなので，
(x-a)^β > 0
|g(x)| > 0
より
(x-a)^β |g(x)|
は下に有界だと言えると思うのですが，上に有界だということはどのように表せるでしょうか？
![]() |
No.72622 - 2021/02/04(Thu) 05:01:56
| ☆ Re: 上に有界？ / ast | | | 当然というのには同意ですが,
> 条件がlim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)| が存在して有限ということなので、
> lim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)| が上下に有界であることは当然
だと, 極限値 lim[x→a+0](x-a)^β|g(x)| の有限性と, 函数 (x-a)^β|g(x)| の半開区間 (a,b] 上 (のとくに x=a の近傍で) の有界性を混同した記述にも読めなくもないので, 少し補足しておきます.
極限 lim[x→a+0](x-a)^β|g(x)| が有限値に確定することを ε-δ で書けば, 任意の ε>0 に対して適当な δ>0 が存在して (a,a+δ) 上では (x-a)^β|g(x)| が所期の極限値+ε よりも小さいことが言えますので, 適当に ε=1 とかに対する δ を何でもいいから一つとります. (この δ が b よりも大きく取れれば話は終わるが, 一般には小さい可能性が消えないので, その場合) あとに残る閉区間 [a+δ,b] 上では函数 (x-a)^β |g(x)| の連続性から, その閉区間上での有界性がしたがいますので, それで半開区間 (a,b] 全体での有界性が出ます (その意味で a 付近での仮定から「当然」言える, ということになります).
# なお, "閉区間上で連続なら有界" は基本的な事項なので既知と想定しましたが,
# 未知であれば非自明な事項なので要証明です.
もとの問題には手を付けていませんが, 仮定の与え方からして |∫g(x)dx|≤∫|g(x)|dx≤(定数)*∫(x-a)^(1/β)dx のような形で適当に評価する話 (そのために「有界性」に言及した) が解説されているのでしょうね.
|
No.72629 - 2021/02/04(Thu) 23:34:45 |
|
