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記事No.72726に関するスレッドです
★ 相似が絡む図形問題 / ☆
この図形問題の計算量が重く、どなたかうまい方法をご教授頂けたら幸いです。
BC=2として設定し、その中点が原点となるような座標系を考えたり、また平面幾何として中線定理や余弦定理など駆使したものの、いずれにせよ式が煩雑でとてもうまい処理とは言えない状況です。
なるべくエレガントな方法を模索しています。
よろしくお願いします。
No.72726 - 2021/02/09(Tue) 14:53:10
☆ Re: 相似が絡む図形問題 / らすかる
回転しやすいように複素数平面を使用
B(0),C(1),A(a+bi)（b＞0）とおくと
E(1/2),F((a+2+bi)/3)
△DEF∽△ABCから
D=(F-E)(A/C)+E={(2a^2-2b^2+a+3)+(4ab+b)i}/6
△BCD∽△ABCから
D={(C-A)/(B-A)}C={(a^2+b^2-a)+bi}/(a^2+b^2)
複素数の相当条件から
(2a^2-2b^2+a+3)/6=(a^2+b^2-a)/(a^2+b^2) … (1)
(4ab+b)/6=b/(a^2+b^2) … (2)
(2)からa^2+b^2=6/(4a+1) … (3)
(1)から
{4a^2+a+3-2(a^2+b^2)}/6={(a^2+b^2)-a}/(a^2+b^2) … (4)
(4)に(3)を代入してbを消去し、整理すると
32a^3+16a^2-10a-15=0
(4a-3)(8a^2+10a+5)=0
8a^2+10a+5=8(a+5/8)^2+15/8＞0なので
a=3/4
(3)からb=√15/4（∵b＞0）
従ってA(3/4+(√15/4)i)なので
BC^2=CA^2=1,AB^2=3/2となり
BC^2：CA^2：AB^2=2：2：3なので
BC：CA：AB=√2：√2：√3
No.72760 - 2021/02/11(Thu) 16:04:44
☆ Re: 相似が絡む図形問題 / ☆
遅れてすみません。
ありがとうございました。
No.72798 - 2021/02/12(Fri) 22:07:35