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記事No.7279に関するスレッドです

4重複した面積 / √
連続投稿で申し訳ありません。
もう一つ教えてください。

一辺が10cmの正方形があります。
この正方形の4つの角を中心として半径10cmの円を
4つ描きます。

この時、真ん中にできた4つ円が重なった部分の面積
(ルーローの四角形みたいなエリア)の出し方を教えてください。

この図、昔、どこかで見た記憶があるのですが、
算数なのか、数学なのか分りません。

もし数学でしたら、sin・cos・tanくらいまででしたら、分るのですが、
積分は忘れてしまいました。

よろしくお願い致します。
  

No.7229 - 2009/08/06(Thu) 13:55:39

Re: 4重複した面積 / ヨッシー
まず図を貼りますね。
No.7231 - 2009/08/06(Thu) 14:40:16

Re: 4重複した面積 / ヨッシー

いろんな方法があると思いますが、ここでは、以下のようにします。

求める図を
A:黄色の弓形4個
B:青の正方形1個
の合わさったものと考えます。

Aの弓形は、半径10、中心角30°の扇形
 面積 100π/12=25π/3
から、底辺10、高さ5の三角形
 面積 20×5÷2=25
を引いたもので、
 25π/3−25
これが4つで、100(π/3−1) ・・・(i)

右下の図で、Aに対してCと対称な点(記号の付いていない点)を
Eとします。
△BCEは、右中の三角形と同じで、CEが正方形Bの1辺となります。
(BC=BE=10 です)
CEの中点をAとし、BA上に点Dを、DC=DE=CE になるように取ります。
角度を調べると、図で●を付けた所は 15°になります。
よって、BD=DC=CE=DE はすべて同じ長さで、これをxとします。
△CDAは1:2:√3 の直角三角形なので、AD=√3x/2

△ABCにおいて、三平方の定理を使うと、
 BC^2=AB^2+AC^2
 100=(x+√3x/2)^2+(x/2)^2
 100=x^2{(2+√3)/2}^2+x^2/4
 100=x^2(8+4√3)/4
 x^2=100/(2+√3)=100(2-√3) ・・・(ii)

(i)(ii)より、求める面積は、
 100(π/3+1−√3)

No.7232 - 2009/08/06(Thu) 15:03:57

Re: 4重複した面積 / √
ヨッシーさん

有り難うございました。
とりあえず、やり方だけ理解できました。

この問題は、こんなに難しかったのですね。
そして数学の範囲だったのですね。
とても私一人では、ここまで考え付きません。

本当に有り難うございました。

No.7238 - 2009/08/06(Thu) 16:00:57

Re: 4重複した面積 / √
ヨッシーさん
先程は有り難うございました。

これがルーローの四角形の面積の求め方になるのですね。
私には、とても難しかったです。
とても勉強になりました。
有り難うございました。

No.7247 - 2009/08/06(Thu) 19:05:43

Re: 4重複した面積 / angel
別解として、分かり易い方法もありますよ。
添付の図をご参考に。

No.7279 - 2009/08/07(Fri) 00:10:29

Re: 4重複した面積 / √
angelさん

別解、有り難うございました。
や〜っと理解できました。

No.7282 - 2009/08/07(Fri) 02:08:29