凸四角形ABCDを底面とする四角すいK-ABCDがあり、
全ての辺が単位球面に接しており、
かつその球面の中心は底面ABCD上にある。
このとき、KA+KB+KC+KD≦AB+BC+CD+DA を示せ。
大数2月の宿題です(本が手元にないので問題文の表現はかえてますが)。
締切(2月10日)は過ぎたので、できれば方針だけでも教えて頂けたら幸いです。
宜しくお願いします。
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No.72870 - 2021/02/14(Sun) 10:14:00
| ☆ Re: 宿題 / 関数電卓 | | | 上は，間違いではないと思いますが，後の計算が煩雑で断念しました。
自明な正四角錐以外では，試行錯誤の末，比較的数字がきれいなものの一例で下図を見つけました。
A(3/2,0,0), C(−2,0,0), B(4−√15,2√3−√5,0), D(4−√15,−2√3＋√5,0),
K(4−√15,0,2√3−√5)
です。図で E,F,G,H,I,J,L,M は四角錐の各辺と球面との接点です。
球面の対称性から，四角錐は断面 KAC について対称で，
KA＝AB＝AD, KC＝CB＝CD, KB＝KD
となるようです。
よって，題意は
KA＋KC≧KB＋KD
に帰着されるようです。証明は難しい？？
図の場合，
KA＝3√3−(3√5)/2≒1.842…，KC＝4√3−2√5≒2.456…
KB＝KD＝√2･(2√3−√5)≒1.736…
で，確かに題意は成り立っています。
A(a,0,0), C(−b,0,0) とすると全ての点の座標は a,b で表されます。この後いろいろやってみたのですが，残念ながら完全な証明には至りませんでした。『大数』の解答が楽しみです。
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No.72941 - 2021/02/18(Thu) 11:29:52 |
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