[ 掲示板に戻る ]
記事No.72959に関するスレッドです
★ 積分 / yuya
1番からつまづいています
どなたかご教授ください
A[n+2]=∫｛0 to π｝sin((n+2)x)/sinx dx
=∫｛0 to π｝{sin(n+1)x*cosx+cos(n+1)x*sinx}/sinx dx
=∫｛0 to π｝sin(n+1)x*cosx/sinx dx +∫｛0 to π｝cos(n+1)xdx
ここで∫｛0 to π｝cos(n+1)xdx=0なので、
A[n+2]=∫｛0 to π｝sin(n+1)x*cosx/sinx dx
=∫｛0 to π｝{sin(nx)cosx+cos(nx)sinx}*cosx/sinx dx
ここまでできました
No.72959 - 2021/02/19(Fri) 07:14:04
☆ Re: 積分 / 関数電卓
1)
　sin(n＋2)x＝sin(nx＋2x)
　　　＝sin(nx)cos(2x)＋cos(nx)sin(2x)
　　　＝sin(nx)(1−2(sin(x))^2)＋cos(nx)2sin(x)cos(x)
　sin(n＋2)x/sin(x)−sin(nx)/sin(x)
　　　＝−2sin(nx)sin(x)＋2cos(nx)cos(x)
　　　＝2cos(n＋1)x
　∴ A[n＋2]−A[n]＝2∫{0,π}cos(n＋1)xdx＝0
　A[0]＝0，A[1]＝π ですから…
2)
　B[n＋1]−B[n]＝…＝∫{0,π}sin(n＋1)x/sinxdx
となり，この先 1)の結果を使います。B[n]＝nπ です。例えば こちら。
No.72962 - 2021/02/19(Fri) 11:34:26
☆ Re: 積分 / yuya
関数電卓さん

ありがとうございます
助かりました
No.72980 - 2021/02/20(Sat) 11:11:13
☆ Re: 積分 / yuya
2)のBn+1-Bnから∫{0,π}sin(n＋1)x/sinxdxの間はどのようにすればたどりつけますか？
No.72984 - 2021/02/20(Sat) 14:51:22
☆ Re: 積分 / 関数電卓
私も初めは素直に２乗を計算しましたが，
　(sinA)^2−(sinB)^2＝(sinA＋sinB)(sinA−sinB)　A＝(n＋1)x, B＝nx
の右辺を和関の公式で変形するのが早いようです。ガンバ！
No.72987 - 2021/02/20(Sat) 15:57:44
☆ Re: 積分 / yuya
解いてみたのですがいかがでしゅうか？
No.72992 - 2021/02/20(Sat) 16:59:25
☆ Re: 積分 / 関数電卓
はい。お書きのものでよろしいでしょう。
私もミスしていました。
　B[n＋1]−B[n]＝…＝∫{0,π}sin(2n＋1)x/sinxdx
でした。
No.73004 - 2021/02/20(Sat) 21:32:42