(1)はベクトルを使って表せましたが、(2)から全く歯がたちません。できれば、(1)から(2)まで詳しい解説をしていただけないでしょうか？
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No.73038 - 2021/02/22(Mon) 13:27:04
| ☆ Re: 数lll / ヨッシー  | | | (1)
αの式は
ｘ＋ｙ＋ｚ−ａ＝０
です。ここで、
f(x,y,z)＝ｘ＋ｙ＋ｚ−ａ
とおきます。
線分ＡＢと共有点を持つためには、
f(1,0,0)＜0 かつ ｆ(1,2,0)＞0
線分ＥＦと共有点を持つためには、
f(1,0,1)＜0 かつ ｆ(1,2,1)＞0
これらより、
1−a＜0 かつ 3−a＞0 かつ 2−a＜0 かつ 4−a＞0
以上より
2＜a＜3
(2)
a=5/2 は、(1) の範囲にあるので、ＡＢ、ＥＦと交わり、
結果として、断面は図のような五角形になります。
これを、図のように、Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌとすると、各座標は
Ｈ：ｘ＋ｙ＋ｚ＝5/2 にｘ＝１，ｚ＝０ を代入して (1, 3/2, 0)
以下同様に
Ｉ：(1/2, 2, 0)
Ｊ：(0, 2, 1/2)
Ｋ：(0, 3/2, 1)
Ｌ：(1, 1/2, 1)
となります。これを、ｚ軸回りに回すと、このようになります。
ｚ軸に垂直な面で回転体を切ったとき、ＨＩあるいはＬＫに平行な線分が
回転したときのドーナツ型になります。
線分ＬＨ上で、ｘ＝ｙ となるのは、中点(1, 1, 1/2) です。
よって、
ｚ座標が 1/2 以下の位置では、線分ＩＪ上の点がｚ軸から一番遠く、
線分ＬＨ上の点がｚ軸から一番近くなります。
一方、ｚ座標が 1/2 以上の位置では、線分ＪＫ上の点がｚ軸から一番遠く、
ｘ＝ｙ となる点がｚ軸から一番近くなります。
ｚ座標ｚの位置で五角形ＨＩＪＫＬを切ったときを考えます。
0≦ｚ≦1/2 において、
ＩＪ上の点は (1/2-z, 2, z) ｚ軸から遠い
ＬＨ上の点は (1, 3/2-z, z) ｚ軸に近い
断面積は
π{(1/2-z)^2＋2^2−1^1−(3/2-z)^2}
＝π(2z＋1)
1/2≦ｚ≦1
ＪＫ上の点は (0,5/2-z, z) ｚ軸から遠い
ｘ＝ｙ の点は (5/4-z/2, 5/4-z/2, z) ｚ軸に近い
断面積は
π{(5/2-z)^2−(5/4-z/2)^2−(5/4-z/2)^2}
＝π(z^2/2−5z/2＋25/8)
それぞれ積分して
π∫[0〜1/2](2z＋1)dz＋π∫[1/2〜1](z^2/2−5z/2＋25/8)dz
＝(73/48)π
検算してください。
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No.73042 - 2021/02/22(Mon) 18:52:01 |
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